Натуральное число как результат измерения величины

Натуральные числа получаются не только в результате счета элементов множества, но и при измерении величин.

Рассмотрим смысл натурального числа как результат измерения на примере одной из величин – длины отрезка (рис. 89).

                                                                  а

                                         • • • • • • •

                                                            е

                                                         • •

                                                                        Рис. 89

Пусть а – длинный отрезок, е – единичный отрезок.

Если отрезок а состоит из п отрезков, равных е, то а=пе, где п – численное значение длины отрезка А при единице Е, А=пЕ.

Натуральное число п как численное значение длины отрезка А показывает, из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а. При выбранной единице длины Е это число единственное.

Отношения между числами как результатами измерения величины отражают отношения между величинами.

Пусть: п – численное значение длины отрезка А, т – численное значение длины отрезка В при одной и той же единице длины Е, тогда:

                            А=В п=т, А<В п<т, А>В п>т.

В процессе измерительной деятельности и решения задач старшие дошкольники работают с численными значениями величин. Например:

1) «Длина синей ленты 5 мерок, а длина красной ленты 3 такие же мерки. Какая лента длиннее? Почему?»

2) «У Маши длина парты 5 мерок. У Саши парта такой же длины. Сколько мерок должно уложиться при измерении Сашиной парты? Почему?

Зная связи между числами, дети выясняют отношения между величинами, и наоборот, зная отношения величин, выясняют отношения между их численными значениями.

Смысл операций с числами можно рассматривать, исходя из трактовки числа как результата измерения величины.

Сумма натуральных чисел т и п можно рассматривать как численное значение длины отрезка а, состоящего из отрезков b и с, длины которых выражаются натуральными числами т и п (рис. 90).

Разность натуральных чисел k и п можно рассматривать как значение длины отрезка с, являющегося разностью отрезка а и b, длины которых выражены натуральными числами k и п соответственно (рис. 90).

Если а = b + c, В = тЕ, С = пЕ, то А= (т + п) Е

Если с = а – b, А = kE, В = пЕ, то С = (k – n) Е

                          b       c

                    •     •            •

                                               a

                                            Рис. 90

Пример: «Длина ткани 5 м, отрезали 3 м. Какова длина оставшегося куска?» В данной задаче из длины 5 м вычитается длина 3 м. Надо узнать численное значение длины оставшегося куска ткани. Для этого надо найти разность 5 – 3.

Аналогично можно истолковать смысл натуральных чисел и действий с ними в связи с изменением других величин (площади, массы, стоимости, времени и др.).

 

Задание 67

1. Определите смысл натурального числа и действий с числами, используя:

- измерение площади;

- измерение массы.

2. Приведите примеры задач, в которых используются операции с величинами. Обоснуйте выбранное действие при решении каждой задачи.

 

Способы записи чисел

Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой проблемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.

Система счисления – это язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.

Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десятеричной и др. В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.

В настоящее время наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:

шестидесятеричная – при измерении времени,

двенадцатеричная – при счете дюжинами,

двоичная – например, в компьютере и др.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления значение цифр (знака, используемого для записи чисел) не зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:

I – один,

V – пять,  

X – десять,

L – пятьдесят,

C – сто,

D – пятьсот,

М – тысяча.

Все другие числа получаются их этих семи при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания.

Например, IV – четыре (5 – 1 = 4), VI – шесть (5 + 1 = 6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная – где бы ни стоял знак V или I – он всегда имеет одно и то же значение.

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.

Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни, в записи 325 – цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 – цифра 2 обозначает единицы.

 

Задание 68

Запишите число 2678 в римской нумерации.

Примечание.

Заслушиваются доклады и сообщения, предварительно подготовленные студентами, на темы: «Возникновение и развитие нумерации», «Системы счисления разных народов», «Запись чисел в Древней Руси», «Происхождение десятичной системы счисления».