Натуральные числа получаются не только в результате счета элементов множества, но и при измерении величин.
Рассмотрим смысл натурального числа как результат измерения на примере одной из величин – длины отрезка (рис. 89).
а
• • • • • • •
е
• •
Рис. 89
Пусть а – длинный отрезок, е – единичный отрезок.
Если отрезок а состоит из п отрезков, равных е, то а=пе, где п – численное значение длины отрезка А при единице Е, А=пЕ.
Натуральное число п как численное значение длины отрезка А показывает, из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а. При выбранной единице длины Е это число единственное.
Отношения между числами как результатами измерения величины отражают отношения между величинами.
Пусть: п – численное значение длины отрезка А, т – численное значение длины отрезка В при одной и той же единице длины Е, тогда:
А=В 
п=т, А<В п<т, А>В п>т.
В процессе измерительной деятельности и решения задач старшие дошкольники работают с численными значениями величин. Например:
1) «Длина синей ленты 5 мерок, а длина красной ленты 3 такие же мерки. Какая лента длиннее? Почему?»
2) «У Маши длина парты 5 мерок. У Саши парта такой же длины. Сколько мерок должно уложиться при измерении Сашиной парты? Почему?
Зная связи между числами, дети выясняют отношения между величинами, и наоборот, зная отношения величин, выясняют отношения между их численными значениями.
Смысл операций с числами можно рассматривать, исходя из трактовки числа как результата измерения величины.
Сумма натуральных чисел т и п можно рассматривать как численное значение длины отрезка а, состоящего из отрезков b и с, длины которых выражаются натуральными числами т и п (рис. 90).
Разность натуральных чисел k и п можно рассматривать как значение длины отрезка с, являющегося разностью отрезка а и b, длины которых выражены натуральными числами k и п соответственно (рис. 90).
Если а = b + c, В = тЕ, С = пЕ, то А= (т + п) Е
Если с = а – b, А = kE, В = пЕ, то С = (k – n) Е
b c
• • •
a
Рис. 90
Пример: «Длина ткани 5 м, отрезали 3 м. Какова длина оставшегося куска?» В данной задаче из длины 5 м вычитается длина 3 м. Надо узнать численное значение длины оставшегося куска ткани. Для этого надо найти разность 5 – 3.
Аналогично можно истолковать смысл натуральных чисел и действий с ними в связи с изменением других величин (площади, массы, стоимости, времени и др.).
Задание 67
1. Определите смысл натурального числа и действий с числами, используя:
- измерение площади;
- измерение массы.
2. Приведите примеры задач, в которых используются операции с величинами. Обоснуйте выбранное действие при решении каждой задачи.
Способы записи чисел
Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой проблемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.
Система счисления – это язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.
Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десятеричной и др. В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.
В настоящее время наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:
шестидесятеричная – при измерении времени,
двенадцатеричная – при счете дюжинами,
двоичная – например, в компьютере и др.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления значение цифр (знака, используемого для записи чисел) не зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:
I – один,
V – пять,
X – десять,
L – пятьдесят,
C – сто,
D – пятьсот,
М – тысяча.
Все другие числа получаются их этих семи при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания.
Например, IV – четыре (5 – 1 = 4), VI – шесть (5 + 1 = 6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная – где бы ни стоял знак V или I – он всегда имеет одно и то же значение.
В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.
Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни, в записи 325 – цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 – цифра 2 обозначает единицы.
Задание 68
Запишите число 2678 в римской нумерации.
Примечание.
Заслушиваются доклады и сообщения, предварительно подготовленные студентами, на темы: «Возникновение и развитие нумерации», «Системы счисления разных народов», «Запись чисел в Древней Руси», «Происхождение десятичной системы счисления».
