Все конечные множества можно распределить по классам в зависимости от числа элементов в них, то есть в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по своей природе, но содержат поровну элементов.
С теоретико-множественной позиции количественное натуральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Каждому классу соответствует только одно натуральное число, каждому натуральному числу – только один класс равномощных множеств.
Рассмотрим, например, множества:
- множество пальцев на руке,
- множество букв в слове «число»,
- множество сторон в пятиугольнике.
В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ними. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного класса, называется натуральным числом. Данные множества характеризуются числом пять. Следовательно, «пять» - это общее свойство множеств, равномощных, например, множеству пальцев на руке человека.
Каждому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномощные множества из одного класса.
Примеры: 1) «Сколько пальцев на руке?»
2) «Возьми пять любых предметов».
В первом случае ответ однозначный (пять), во втором – возможны различные варианты выполнения задания.
Задание 64
Приведите примеры множеств, общее свойство которых есть число 4.
Число «нуль» не является натуральным. С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривается как число элементов пустого множества. Например, множество углов у круга является пустым.
Знакомя детей с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множества и соотносят им изучаемое число. Например:
- на рисунке изображены три фигуры.
- На столе лежат три яблока.
- Маша, Коля, Вася – это три имени.
- Число «три» записывают цифрой 3.
Та как натуральное число оказывается связанным с конечным множеством, то и действия над натуральными числами можно рассматривать в связи с действиями над множествами. Так, сложение чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а вычитание – с дополнением подмножества.
Пусть а – число элементов в множестве, А, b – число элементов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда суммой натуральных чисел а и b называют число элементов в объединении множеств А и В.
Рассмотрим пример. Пусть 2 – число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух красных яблок), 3 – число элементов в множестве В (В может быть множеством из трех зеленых яблок). Множества А и В не имеют общих элементов. Тогда сумма 2 + 3 представляет собой число элементов в объединении множеств А и В. Если найти значение выражения 2 + 3, то можно записать равенство 2 + 3 = 5.
Задание 65
1) Используя круги Эйлера, проиллюстрируйте переместительный и сочетательный законы сложения.
2) Если 0 – число элементов пустого множества, то каков смысл суммы а + 0?
Сравнение чисел также можно выполнять, оперируя с множествами. Например, чтобы установить отношение 3< 4, достаточно показать, используя прием приложения (рис. 88), что для одного квадрата нет соответствующего треугольника, то есть в данной ситуации в множестве квадратов можно выделить подмножество, равномощное множеству треугольников.
Пусть а – число элементов в множестве а, b – число элементов в множестве В. Если множество А равномощно подмножеству множества В, то а< b или b >а. Если множества А и В равномощны, то а = b.
Как уже было сказано, вычитание чисел связано с дополнением подмножества.
Рис. 88
Пусть В – подмножество множества А, а – число элементов в множестве А, b – число элементов в множестве В. Тогда разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А.
Например, смысл разности 5 – 3 можно объяснить следующим образом. Возьмем множество А, в котором 5 элементов (квадратов, яблок и др.). Выделим из множества А подмножество В, в котором 3 элемента. Тогда 5 – 3 будет представлять число элементов в дополнении множества В до множества А. Если найти значение разности 5 – 3, то можно записать равенство 5 – 3 = 2.
Задание 66
Каков теоретико-множественный смысл разности: а) а – 0; б) а – а?
