Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и введением понятия нуля.
Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятичную систему арабы, поэтому ее часто называют арабской.
В десятичной системе счисления для записи чисел используют 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.
Например: 5437 – краткая запись числа «пять тысяч четыреста тридцать семь». Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 30 + 7 или 5 · 103 + 4 · 102 + 3 · 10 + 7.
Десятичной записью числа х называется его представление в виде:
х = ап · 10 п + ап- 1 · 10 п- 1 + … + а 1 · 101 + а0 · 100,
где ап, ап- 1, …, а 1, а0 принимают значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и ап≠ 0.
Числа 1, 10, 102, 103, …, 10 п- 1, 10 п называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.
Краткая запись числа выглядит так: апап- 1 … а 1 а 0.
Данная система записи чисел называется десятичной, так как 10 является основанием системы, то есть 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего разряда.
В целях подготовки к усвоению десятичной системы счисления старшие дошкольники знакомятся с цифрами, учатся считать группами (в том числе десятками). Младшие школьники, знакомятся с десятичной системой счисления, выполняют задание: «Представь число в виде суммы разрядных слагаемых», учатся называть разряды и классы.
Три первых разряда образуют классы единиц, следующие три разряда – класс тысяч, затем идет класс миллионов и др. (рис. 91).
Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.
| Классы | … | миллионов | тысяч | единиц | ||||||
| Разряды | … | сот. млн. | дес. млн. | ед. млн. | сот. тыс. | дес. тыс. | ед. тыс. | сот. | дес. | ед. |
Рис. 91
Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматривать уже с дошкольниками. Например.
1) «Отсчитаем 10 палочек. Перевяжем их. Это десяток. Десяток можно назвать «дцать». Положим на десяток палочек еще одну. Всего одиннадцать палочек – «один на дцать».
2) «Возьмем две связки. Это два десятка. Можно сказать «два дцать».
Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет десятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.
Задание 69
- Представьте число 345 679 в виде суммы разрядных слагаемых.
- Покажите краткую запись числа 8 · 105 + 7 · 104 + 6 · 10 + 8.
- Запишите наибольшее и наименьшее трехзначные числа.
- Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем десятков в два раза больше единиц. Найдите это число.
В десятичной системе счисления действия с многозначными числами выполняют по правилам, называемым алгоритмами. Запись сложения, вычитания и умножения выполняют столбиком, а деления – уголком, это умение становится доступным уже младшим школьникам. В основе вычислений лежат некоторые теоретические знания. Например, при сложении используются:
- способ записи числа в десятичной системе счисления;
- законы сложения;
- таблица сложения однозначных чисел.
Задание 70
Вспомните правила сложения, вычитания, умножения, деления многозначных чисел в десятичной системе счисления. Приведите примеры.
Опорный конспект к теме
«Натуральные числа и нуль»
| Свойства натурального ряда |
| - имеется начальный элемент – число 1; - за каждым числом непосредственно следует только одно число; - каждое последующее число на 1 больше предыдущего числа, а каждое предыдущее на 1 меньше последующего (п ± 1). |
Действия над числами
Ø, то 
где а – число элементов в
множестве А, b – число
элементов в множестве В, с –
число элементов в множестве С.
то А \ В=С,
где а – число элементов в
множестве А, b – число
элементов в множестве В, с –
число элементов в множестве С.
• • •
С
А+В=С, где А=а·Е, В= b ·Е, С=с·Е,
Е – единица длины
