Некоторые свойства натурального ряда

Натуральные числа и нуль

Этапы развития понятия натурального числа

Числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …, называются натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. К возникновению понятия числа человека привели два вида деятельности: счет и измерение. Понятие числа возникло из практической потребности человека и прошло длительный путь в своем развитии.

Чтобы прийти к современному представлению о числе, человек прошел несколько этапов.

I этап.

Множества сравниваются непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. («Яблок столько, сколько человек за столом»). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.

Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.

II этап.

Вводятся множества-посредники (камешки, зарубки, узелки, пальцы и др.). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств (например, «иметь поровну элементов»). Для ответа на вопрос «сколько?» малыши часто используют пальцы на руках как множества-посредники.

III этап.

Происходит отвлечение от природы множеств-посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорит: «Один камешек, два камешка, …», а называет числа: «Один, два, три, …». Это важнейший этап в развитии понятия числа. Человек научился абстрагироваться от других свойств множества, выделяя только количество элементов в нем.

IV этап.

Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счисления. Создание десятичной системы, понятия нуля в Древней Индии (V – VI вв. н.э.) решило многие проблемы в этой области и получило всемирное распространение.

V этап.

Числа становятся предметом изучения, и зарождается наука арифметика (от греческого arithmos – число). Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран арабского мира, европейскими учеными. Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций (около 480 – 524).

В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики, который называется теорией чисел.

 

Задание 62

Проведите аналогию между этапами развития понятия натурального числа и деятельностью детей при формировании количественных представлений.

 

Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с числом пальцев на руке, потом используют натуральные числа при счете, учатся их записывать и выполнять арифметические действия.

Примечание.

Заслушиваются сообщения, предварительно подготовленные студентами на тему: «Как люди научились считать».

 

Натуральный ряд и его свойства. Счет

Натуральное число имеет много функций, с некоторыми из них дети знакомятся довольно рано.

Некоторые функции натурального числа

- количественная характеристика множества (при ответе на вопрос «сколько?»);

- характеристика порядка (при ответе на вопрос «который?»);

- численное значение величины (при измерении);

- компонент вычислений.

Множество натуральных чисел называют натуральным рядом.

Свойство натурального ряда рассматриваются в курсе математики. Некоторые из них доступны уже дошкольникам.

Некоторые свойства натурального ряда

- натуральный ряд начинается с единицы;

- за каждым натуральным числом непосредственно следует только одно натуральное число;

- элемент натурального ряда;

- каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а каждое предыдущее на 1 меньше последующего п ± 1).

При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения числа элементов в множестве.

Например, чтобы определить число элементов в множестве { a, b, c, d, e }, нужен отрезок натурального ряда {1, 2, 3, 4, 5}.

Отрезок натурального ряда N_a называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Например: N ₅ = {1, 2, 3, 4, 5}.

Множество называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку натурального ряда N _а.

Для определения числа элементов в конечном множестве используется счет. Во время счета следуют некоторым правилам: считают каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного, числа называют последовательно, начиная с единицы, не пропуская ни одного и не используя дважды.

Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального числа N _а.

Число а называют числом элементов в множестве А, оно единственное для данного множества и является количественной характеристикой элементов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.

В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий, …), то есть натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или, короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда, хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.

Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен переход от одного к другому, в зависимости от цели счета. Сам счет служит для упорядочивания элементов множества и для определения их количества.

 

Задание 63

1. запишите все элементы множества N ₇. Приведите пример множества, для счета элементов которого можно использовать данный отрезок натурального ряда.

2. Являются ли данные множества отрезками натурального ряда:{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 4, 6, 8}, {1, 2, 3}, {3, 4, 5}?

3. Предложите правила счета для дошкольника, которые помогут сформировать счетную деятельность у ребенка и избежать ошибок.

4. Приведите примеры заданий для детей, в процессе выполнения которых они будут использовать количественные и порядковые числа.

 

Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно, чтобы соблюдались правила счета.

Многие родители заблуждаются, говоря, что их ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, то есть запомнил последовательность чисел. При обучении дошкольника счету необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное соответствие между предметами и числами, выделять итоговое число. Специальные правила (счет вслух, прикасание к каждому предмету рукой слева направо, обобщающий жест) помогут избежать ошибок (пропуск предметов, сосчитывание одного предмета несколько раз, непонимание, сколько же всего предметов, и др.).

Специальные упражнения дают возможность понять ребенку закон сохранения количества (независимость количества элементов множества от их расположения и от направления счета) и зависимость порядкового номера элемента множества от направления счета.

При построении теории натуральных чисел одним и основных понятий принято отношение «непосредственно следовать за», также используются теоретико-множественные понятия и правила логики.

При изучении числового ряда детей учат называть следующее число, предшествующее число, соединение числа.

Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим числу b.

Числа a и b называются соседними числами.

Если к числу прибавить 1, то получится следующее число.

Старшие дошкольники знакомятся с отношениями между числами «больше» и «меньше», операциями над натуральными числами сложением и вычитанием, а младшие школьники – с названиями компонентов этих действий.