Натуральные числа и нуль
Этапы развития понятия натурального числа
Числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …, называются натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. К возникновению понятия числа человека привели два вида деятельности: счет и измерение. Понятие числа возникло из практической потребности человека и прошло длительный путь в своем развитии.
Чтобы прийти к современному представлению о числе, человек прошел несколько этапов.
I этап.
Множества сравниваются непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. («Яблок столько, сколько человек за столом»). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.
Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.
II этап.
Вводятся множества-посредники (камешки, зарубки, узелки, пальцы и др.). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств (например, «иметь поровну элементов»). Для ответа на вопрос «сколько?» малыши часто используют пальцы на руках как множества-посредники.
III этап.
Происходит отвлечение от природы множеств-посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорит: «Один камешек, два камешка, …», а называет числа: «Один, два, три, …». Это важнейший этап в развитии понятия числа. Человек научился абстрагироваться от других свойств множества, выделяя только количество элементов в нем.
IV этап.
Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счисления. Создание десятичной системы, понятия нуля в Древней Индии (V – VI вв. н.э.) решило многие проблемы в этой области и получило всемирное распространение.
V этап.
Числа становятся предметом изучения, и зарождается наука арифметика (от греческого arithmos – число). Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран арабского мира, европейскими учеными. Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций (около 480 – 524).
В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики, который называется теорией чисел.
Задание 62
Проведите аналогию между этапами развития понятия натурального числа и деятельностью детей при формировании количественных представлений.
Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с числом пальцев на руке, потом используют натуральные числа при счете, учатся их записывать и выполнять арифметические действия.
Примечание.
Заслушиваются сообщения, предварительно подготовленные студентами на тему: «Как люди научились считать».
Натуральный ряд и его свойства. Счет
Натуральное число имеет много функций, с некоторыми из них дети знакомятся довольно рано.
Некоторые функции натурального числа
- количественная характеристика множества (при ответе на вопрос «сколько?»);
- характеристика порядка (при ответе на вопрос «который?»);
- численное значение величины (при измерении);
- компонент вычислений.
Множество натуральных чисел называют натуральным рядом.
Свойство натурального ряда рассматриваются в курсе математики. Некоторые из них доступны уже дошкольникам.
Некоторые свойства натурального ряда
- натуральный ряд начинается с единицы;
- за каждым натуральным числом непосредственно следует только одно натуральное число;
- элемент натурального ряда;
- каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а каждое предыдущее на 1 меньше последующего п ± 1).
При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения числа элементов в множестве.
Например, чтобы определить число элементов в множестве { a, b, c, d, e }, нужен отрезок натурального ряда {1, 2, 3, 4, 5}.
Отрезок натурального ряда Na называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
Например: N 5 = {1, 2, 3, 4, 5}.
Множество называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку натурального ряда N а.
Для определения числа элементов в конечном множестве используется счет. Во время счета следуют некоторым правилам: считают каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного, числа называют последовательно, начиная с единицы, не пропуская ни одного и не используя дважды.
Счетом элементов множества А называется установление взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального числа N а.
Число а называют числом элементов в множестве А, оно единственное для данного множества и является количественной характеристикой элементов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.
В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий, …), то есть натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или, короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда, хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.
Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен переход от одного к другому, в зависимости от цели счета. Сам счет служит для упорядочивания элементов множества и для определения их количества.
Задание 63
1. запишите все элементы множества N 7. Приведите пример множества, для счета элементов которого можно использовать данный отрезок натурального ряда.
2. Являются ли данные множества отрезками натурального ряда:{0, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 4, 6, 8}, {1, 2, 3}, {3, 4, 5}?
3. Предложите правила счета для дошкольника, которые помогут сформировать счетную деятельность у ребенка и избежать ошибок.
4. Приведите примеры заданий для детей, в процессе выполнения которых они будут использовать количественные и порядковые числа.
Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно, чтобы соблюдались правила счета.
Многие родители заблуждаются, говоря, что их ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, то есть запомнил последовательность чисел. При обучении дошкольника счету необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное соответствие между предметами и числами, выделять итоговое число. Специальные правила (счет вслух, прикасание к каждому предмету рукой слева направо, обобщающий жест) помогут избежать ошибок (пропуск предметов, сосчитывание одного предмета несколько раз, непонимание, сколько же всего предметов, и др.).
Специальные упражнения дают возможность понять ребенку закон сохранения количества (независимость количества элементов множества от их расположения и от направления счета) и зависимость порядкового номера элемента множества от направления счета.
При построении теории натуральных чисел одним и основных понятий принято отношение «непосредственно следовать за», также используются теоретико-множественные понятия и правила логики.
При изучении числового ряда детей учат называть следующее число, предшествующее число, соединение числа.
Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим числу b.
Числа a и b называются соседними числами.
Если к числу прибавить 1, то получится следующее число.
Старшие дошкольники знакомятся с отношениями между числами «больше» и «меньше», операциями над натуральными числами сложением и вычитанием, а младшие школьники – с названиями компонентов этих действий.
