Задания на контрольные работы.

Контрольная работа № 5

Задание 1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями

 

№331.		D:  y=x2 , y=0, x=1
№332.		D: y=x2 , y=0, x=2
№333.		D: y=4x2 , y=0, x=1
№334.		D: y=1+x2 , y=1, x=2
№335.		D: y=x2 , y=1, x=3
№336.		D: y=x2 , y=0, x=1, x=2
№337.		D: y=1+ x3 , y=1, x=4
№338.		D: y=x3 , y=0, x=2
№339.		D: y=x2 , y=2, x=3
№340.		D: y=x3 , y=0, x=3

 

 

Задание 2.   Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (а>0)

 

№341.	(x2 + y2)3=4x2y2
№342.	(x2 + y2)2=25(4x2 + y2)
№343.	(x2 + y2)3=9(4x2 + y2)
№344.	(x2 + y2)2=4(3x2 + 2y2)
№345.	x4 =16(3x2-y2)
№346.	x6=9(x4 - y4)
№347.	x4 =a(x2 - 3y2)
№348.	y6=a2 (y4 - x4)
№349.	(x2 + y2)2=a2(2x2 + 3y2)
№350.	y6=a2 (x2 + y2) (3y2 + x2)

Задание 3. Вычислите с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОY.

 

 

№351	z=0, z=x, y=0, y=3, x=
№352.	z=0, z=16–y2, x2+y2 = 16
№353.	z=0, z=25-x-y, x2+y2 = 25
№354.	z=0, z=y2, x2+y2=4
№355.	z=0, y+z=3, x2+y2=9
№356.	z=0, z=4y2, 2x – y =0, x+y = 9
№357.	z=0, z=x2+y2, x2+y2 = 9
№358.	z=0, z=1-y2, x=4y2, x=4y2 +1
№359.	z=0, z=4-x2, y=0, x=4-x
№360.	z=0, z=9 , x=0, x+y=9

 

Задание 4. Вычислите криволинейный интеграл

 

№361.		вдоль дуги L окружности x=5cost, y=5sint, обходя ее против хода часовой стрелки от точки А(5;0) до точки В(0;5). Сделать чертеж.
№362.		вдоль ломаной L=ОАВ, где О(0;0), А(-1;1) до точки В(4;5). Сделать чертеж.
№363.		вдоль границы L треугольника АВС, обходя ее против хода часовой стрелки, если А(2;0), В(2;2), С(0;2). Сделать чертеж.
№364.		вдоль дуги L параболы y= x2 от точки А(-1;1) до точки В(1;1). Сделать чертеж.
№365.		вдоль верхней половины  L эллипса x=2cost, y=3sint (0<t< ). Сделать чертеж.
№366.		вдоль ломаной L=АВC, где A(1;2), B(1;5), C(3;5). Сделать чертеж.
№367.		вдоль дуги L кривой y=e-x от точки А(0;1) до точки В(-1;e). Сделать чертеж.
№368.		вдоль отрезка L=АВ прямой от точки А(-1;2) до точки В(-2;4). Сделать чертеж.
№369.		вдоль дуги L параболы y=2x2 от точки O(0;0) до точки А(2;8). Сделать чертеж.
№370.		вдоль дуги L кривой y=lnx от точки A(1;0) до точки B(e;1). Сделать чертеж.

 

Задание 5. Даны векторное поле  и плоскость Ax+By+Cz+D=0 (p), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V.

Пусть  - основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р);  - контур, ограничивающий ;

n –нормаль к , направленная вне пирамиды V.

Требуется вычислить:

1) поток векторного поля F через поверхность  в направлении нормали n;

2) циркуляцию векторного поля F по замкнутому контуру  и ограниченной им замкнутой поверхности  с нормалью n;

3) поток векторного поля F через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского. Сделать чертеж

 

№371.	x+y+z-2=0
№372.	2x-y+2z-2=0
№373.	x+y+z-4=0
№374.	-x+2y+2z-4=0
№375.	2x-3y+2z-6=0
№376.	3x+2y+3z-6=0
№377.	-x+2y+z-4=0
№378.	x-y+2z-4=0
№379.	x+y+3z-3=0
№380.	-x+y+2z-4=0

 

 

Задание 6. Проверить является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля  найти его потенциал.

№381.
№382.
№383.
№384.
№385.
№386.
№387.
№388.
№389.
№390.

                

Задание 7.  Исследовать сходимость числового ряда

№391.
№392.
№393.
№394.
№395.
№396.
№397.
№398.
№399.
№400.

 

Задание 8. Найти интервал сходимости степенного ряда

№401.
№402.
№403.
№404.
№405.
№406.
№407.
№408.
№409.
№410.

Задание 9. Вычислить значение функции с точностью до 0,001, разложив ее в степенной ряд.

 

№411.	при
№412.	при
№413.	при
№414.	при
№415.	при
№416.	при
№417.	при
№418.	при
№419.	при
№420.	при

 

Задание 10. Вычислить определенный интеграл    с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно.

№421.	при b=1,1.
№422.	при b=1,1.
№423.	при b=0,6.
№424.	при b=0,6.
№425.	при b=0,6
№426.	при b=0,6
№427.	при b=0,6.
№428.	при b=1,1.
№429.	при b=0.6.
№430.	при b=0,6

Задание 11. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

№431.
№432.
№433.
№434.
№435.
№436.
№437.
№438.
№439.
№440.

Задание 12. Разложите данную функцию  в ряд Фурье в интервале (a;b)..

№441.	, в интервале
№442.	в интервале
№443.	в интервале
№444.	в интервале
№445.	в интервале
№446.	в интервале
№447.	в интервале
№448.	в интервале
№449.	в интервале
№450.	в интервале

Содержание и оформление контрольных работ

 

5.1 Требования к оформлению контрольной работы: в случае рукописного варианта контрольная работа выполняется в тетради (12л.) на обложке необходимо указать № к.р., свой факультет, специальность, шифр зачетной книжки, номер варианта, ФИО, в случае электронного варианта контрольная работа выполняется в текстовом редакторе Word.

 

5.2. Требования к структуре контрольной работы:

При выполнении работы необходимо приводить основные теоретические моменты, промежуточные математические доказательства, методики, формулы, расчеты.

В конце работы указывается список использованных источников, ставится число и личная подпись.

                          6 Темы практических занятий.

 

1. Двойные интегралы и тройные интегралы. Сведение к повторному. Замена переменных. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов.

     Литература: [3,гл.13, с.307-324, с. 346-353]

2. Криволинейные интегралы. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода. Некоторые приложения криволинейных интегралов первого и второго рода.  Формула Грина.           

       Литература: [3,гл.13, с.324-346]

3. Поверхностные интегралы. Формула Остроградского. Формула Стокса. Скалярное и векторное поля. Задача о потоке векторного поля. Дивергенция. Циркуляция. Ротор.    

     Литература: [ 3,гл.8,с.192-215].  

4. Ряды. Свойства сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная  сходимость рядов. Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды.  Приближенные вычисления значений функций, определенных интегралов, решений дифференциальных уравнений.  

     Литература: [3,гл.14,с.379-402] 

5.Ряды Фурье в комплексной форме. 

Литература: [ 3,гл.14,с.410-416 ]

 

 

                          7. Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)

1. Вычисление двойного интеграла через повторный.

2. Замена переменных. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.        

3. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрическая и сферическая система координат.

4. Вычисление тройного интеграла через повторный.

5. Криволинейные интегралы 1-го рода.

6. Криволинейные интегралы 2-го рода. Формула Грина.

7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы и их вычисление через двойные интегралы.

8. Векторный анализ и элементы теории поля.

9. Скалярное и векторное поле. Градиент. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Гаусса – Остроградского. Ротор векторного поля. Формула Стокса.

10. Ротор векторного поля. Формула Стокса. Векторные линии и трубки.

11. Бесконечные числовые ряды. Сходимость. Сумма числового ряда.

12. Свойства сходящихся рядов.

13. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки сходимости.

14. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

15. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость.

16. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость суммы равномерно сходящихся рядов.

17. Степенные ряды. Основные определения и теоремы.

18. Ряды Тейлора и Маклорена.

19. Вычисление значений функций с помощью степенных рядов.

20. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов.

21. Нахождение решений дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. 

22. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье.

23. Тригонометрические ряды Фурье. Условия разложимости в ряды Фурье.  

24. Разложение  функций в ряд по синусам или по косинусам.

25. Тригонометрические ряды Фурье в комплексной форме.

26. Интеграл Фурье. Косинус и синус-преобразование Фурье.

                                     8. Список рекомендуемой литературы

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Том 2. Учебное пособие для втузов. – М.: Наука, 1985. – 432 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2 – М.:Образование, 2002г.

3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., испр. – М.: Высшая школа, 2001г. – 304 с.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – 5-е изд., стер. – М.: Высшая школа. 2002. – 479 с.

5. Барвин И.И. Высшая математика: Учебное пособие для студентов вузов. –

 3-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 616 с.