Интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд.

МАТЕМАТИКА

Часть третья

Учебно-методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников второго курса

высшего профессионального образования

Краснодар

2006

УДК

Составители: доцент Терещенко И.В., доцент Братчиков А.В., ассистент Сычева В.Е.

Математика. Учебно – методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников специальностей 140211,140101,130503 факультета НГиЭ высшего профессионального образования. – Краснодар 2006. – 25 с.

В учебно-методических указаниях изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету (или экзамену), рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольных работ.

Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Вартумян Г.Т.

канд. техн. наук, доцент Данович Л.М.

Содержание

Введение ……………………………………………………………………………….….4

1. Инструкция по работе с учебно-методическими указаниями………………….……4

2. Программа дисциплины………………………………………………………….…….5

3. Контрольные работы…………………………………………………………………...6

4. Задания на контрольную работу……………………...……………………………...17

5. Содержание и оформление контрольных работ…………………………………….23

6. Темы практических занятий………………………………………………………….24

7. Вопрос подготовки к экзамену (зачету)………….………………………………….24

8. Список рекомендуемой литературы…………………………………………………25

Введение

Инженер должен в области математики иметь представление:

- о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и

представлений;

- о математическом моделировании;

- об информации, методах ее хранения, разработки и передачи;

знать и уметь использовать:

- основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики;

- математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;

- вероятностные модели для конкретных процессов и проводить расчеты в рамках построенной модели;

иметь опыт:

- употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов;

- исследования моделей с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов:

- использования основных приемов обработки экспериментальных данных;

- аналитического и численного решения алгебраических уравнений;

- исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

- аналитического и численного решения основных уравнений математической физики;

- программирования и использования возможностей вычислительной техники и программного обеспечения;

Цель курса «Математика»:

- дать студентам необходимую математическую подготовку для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин;

- привить студентам навыки логического и алгоритмического мышления;

- овладеть методами исследования и решения математических и прикладных задач по специальности;

- выработать умения самостоятельно расширять математические знания и применять их при анализе инженерных задач.

1. Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями.

В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.

Пример.

Литература: [3, гл.13 c. 3-9], [4, c. 143-162],

где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.

Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании. Например, в 10 варианте выполняют следующие номера из предложенных заданий контрольной работы: 310,320,330 и так далее.

В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки.

Программа дисциплины.

Тема 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ.

Двойной интеграл. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов. Замена переменных в двойном интеграле. Тройной интеграл. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. Криволинейный интеграл. Вычисление криволинейного интеграла. Поверхностный интеграл. Вычисление поверхностного интеграла. Формула Стокса. Формула Остроградского. Скалярное и векторное поля. Задача о потоке векторного поля.

Литература: [4 гл. 13, с. 307-368)]

Вопросы для самоконтроля.

1. Вычисление двойного интеграла.

2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

3. Вычисление тройного интеграла.

4. Вычисление площадей с помощью с помощью двойных интегралов.

5. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов.

6. Вычисление криволинейного интеграла.

7. Вычисление поверхностного интеграла.

Тема 7. Ряды. Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций, интегралов, решения дифференциальных уравнений.

Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций, интегралов, решения дифференциальных уравнений. Ряды Фурье.

Литература: [4, гл. 14 с. 379-416].

Вопросы для самоконтроля.

1. Исследование сходимости числового ряда.

2. Исследование на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда.

3. Нахождение интервала сходимости степенного ряда.

4. Приближенные вычисления значений функции с помощью степенных рядов.

5. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов.

6. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

7. Разложение функций в ряды Фурье.

Контрольные работы.

Программой дисциплины «Математика» для студентов II курса предусмотрено выполнение контрольных работ № 4,5.

3.1. При выполнении контрольной работы № 4 необходимо изучить следующие вопросы: двойной интеграл, вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов, замена переменных в двойном интеграле, тройной интеграл, вычисление объемов с помощью тройных интегралов, криволинейный интеграл, вычисление криволинейного интеграла, вычисление поверхностного интеграла, формула Стокса, Остроградского; скалярное и векторное поля, задача о потоке векторного поля.

Ниже приведены примеры выполнения расчетов.

К заданиям 331-340.

Пример. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями

D: y=-x²+1, x=0, y=0.

Решение. Построим область D. График функции y=-x²+1 представляет собой параболу с вершиной в точке (0;1), симметричную относительно оси OY; x=0 – прямая, совпадающая с осью OY; y=0 - прямая, совпадающая с осью OX

Для вычисления двойного интеграла воспользуемся формулой

Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=0, х=1, снизу y=0 и сверху

y=-x²+1

Ответ:

К заданиям 341-350. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнениями в декартовых координатах (а>0)

Решение: Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам

Положим ,

В результате получим

Очевидно, что изменению полярного угла от 0 до соответствует четверть искомой площади. Изобразим полученную кривую на чертеже.

Следовательно,

Ответ: 4

К заданиям 351-360.

Пример. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями , , , . Сделать чертеж данного тела и его проекции на плоскость XOY

Решение.

- параболоиды вращения

- цилиндрические поверхности

Наше тело представляет собой «параболический башмачок», который вырезают цилиндрические поверхности и между параболоидами вращения. Снизу «башмачок» ограничен куском поверхности , а сверху куском поверхности параболоида вращения

Проекция этого тела на плоскость XOY дает множество, состоящее из точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам

Поэтому,

( - + - )=

Ответ:

К заданиям 361-370.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги окружности x=cost, y=sint, обходя ее против хода часовой стрелки от точки А(1;0) до точки В(0;1). Сделать чертеж.

Решение. L – дуга окружности x=cost y=sint, R=1. Изобразим на чертеже дугу окружности по которой вычисляем интеграл.

Так как кривая задана в параметрическом виде x=x(t) y=y(t) (), то криволинейный интеграл II рода сводится к определенному интегралу по формуле

Найдем

Тогда Ответ:

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл если L – контур треугольника с вершинами А(1;2), В(3;1), С(2;5) пробегаемый против хода часовой стрелки.

Решение.Составим уравнение прямых АВ, ВС, СА и изобразим контур интегрирования на чертеже.

АВ:

ВС:

СA:

Следовательно,

Получаем,

Ответ: 3,5

К заданиям 371-380.

Пример. Даны векторное поле и плоскость x+4y+z-4=0 (p), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду V.

Пусть - основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р); - контур, ограничивающий ;

–нормаль к , направленная вне пирамиды V.

Требуется вычислить:

1) поток векторного поля через поверхность в направлении нормали ;

2) циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру и ограниченной им замкнутой поверхности с нормалью;

3) поток векторного поля через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности, применив теорему Остроградского.

Решение:

1) Поток векторного поля через поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали к поверхности S, вычисляется по формуле

П= где -скалярное произведение вектора поля и единичного вектора, выбранного направления, а

Для данного векторного поля и по определению потока получаем

Ответ:

2) циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру и ограниченной им замкнутой поверхности с нормалью вычисляем по формуле Стокса Ц= , где С – контур , проходящей через три данные точки, . Замкнутый контур представляет собой треугольник с вершинами М(4;0;0), N(0;1;0), P(0;0;4)

Найдем ротор данного векторного поля.

= -

Следовательно, dS= +

Ответ: 14.

3) Для вычисления потока векторного поля через полную поверхность пирамиды V в направлении внешней нормали к ее поверхности применим формулу Остроградского .

Согласно определению, имеем

Ответ:

К заданиям 381-390.

Пример.

Проверить является ли векторное поле

потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.

Решение. Векторное поле (М) называется потенциальным, если rot =0. Вычислим rot .

= - - +

Следовательно, данное векторное поле является потенциальным.

Потенциал u=u(x,y) вычислим по формуле

то есть, Здесь в качестве начальной точки взята точка М₀(0;0).

Векторное поле (М) называется соленоидальным, если div =0.

Вычислим div .

Согласно определению, имеем

Ответ: поле является потенциальным, = ;

поле не является соленоидальным.

3.2. При выполнении контрольной работы № 5 необходимо изучить следующие вопросы: исследование сходимости числового ряда, исследование на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда, нахождение интервала сходимости степенного ряда, приближенные вычисления значений функции с помощью степенных рядов, применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов, интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов, разложение функций в ряды Фурье.

Ниже приведены примеры выполнения расчетов.

К заданиям 391-400.

Пример. Исследовать сходимость числового ряда ,

где а) ; б) .

Решение. а) Для исследования сходимости числового ряда применим признак Даламбера; имеем , , , значит,

Так как 2>1, ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

б) Для исследования сходимости числового ряда применим интегральный признак: , ,

Интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд.

Ответ: ряд сходится.

К заданиям 401-410.

Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда , где

Решение: , ,

следовательно, ряд сходится для значений , удовлетворяющих неравенству -1< <1. Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если =1, то получим обобщенный гармонический ряд , который сходится, так как 2>1.

Если =-1, то получим знакопеременный ряд , который сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.

К заданиям 411-420.

Пример. Вычислить значение функции при = 0,2 точностью до 0,001, разложив ее в степенной ряд.

Решение. Разложение функции имеет вид . Заменим на ; получим

Следовательно, при = 0,2

Так как знакопеременный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что Произведя вычисления, в результате получаем

Ответ: 0,073.

К заданиям 421-430.

Пример. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно.

Решение.

Ответ:

К заданиям 431-440.

Пример. Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения .

Решение. В тех случаях, когда для уравнения требуется решить задачу Коши при начальном условии y(x₀)=y₀, решение можно искать с помощью ряда Тейлора: где , а дальнейшие производные находят последовательным дифференцированием исходного уравнения и подстановкой в результат дифференцирования вместо , … значений и всех остальных найденных последующих производных.

Из уравнения и начального условия находим Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем , .Полагая , и используя находим Аналогично, используя значения