Раздел Х. Элементы теории поля

Примеры

 

10.1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где поверхность S определяется соотношениями .

 

10.2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где поверхность S определяется соотношениями .

 

10.3. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где поверхность S есть часть параболоиды , отсекаемая плоскостью z = 1.

 

10.4. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где поверхность S определяется соотношениями .

 

10.5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где S есть часть конической поверхности, заключенная между плоскостями z = 0 и z =1.

 

10.6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где поверхность S есть внешняя сторона сферы .

 

10.7. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где поверхность S есть внешняя сторона конуса .

 

10.8. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где поверхность S есть нижняя сторона части конической поверхности .

 

10.9. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где поверхность S есть внешняя сторона полусферы .

 

10.10. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где поверхность S есть полусфера .

 

10.11. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского и переходом к цилиндрическим координатам вычислить поверхностный интеграл второго рода , где S есть внешняя сторона поверхности конуса .

 

10.12. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского преобразовать поверхностный интеграл второго рода  к тройному интегралу по объему V.

 

10.13. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского преобразовать поверхностный интеграл первого рода , где  непрерывны со своими частными производными,  направляющие косинусы нормали к поверхности S, к тройному интегралу по объему V.

 

10.14. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского преобразовать поверхностный интеграл второго рода  к тройному интегралу по объему V.

 

10.15. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского преобразовать поверхностный интеграл второго рода  к тройному интегралу по объему V.

 

10.16. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где S есть внешняя сторона поверхности цилиндра .

 

10.17. Пользуясь формулой Стокса вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L есть окружность, определяющаяся соотношениями .

 

10.18. Пользуясь формулой Стокса вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L есть эллипс .

 

10.19. Пользуясь формулой Стокса вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L есть замкнутая кривая , пробегаемая в направлении возрастания t.

 

10.20. Пользуясь формулой Стокса вычислить криволинейный интеграл второго рода

, где L есть линия пересечения поверхности куба  плоскостью , пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси ОХ.

 

10.21. Найти модуль и направление grad U в точке М(-9; 12; 10), если .

 

10.22. Пусть . Вычислить: .

 

10.23. Найти  в точке М(3;4;5), если .

10.24. Вычислить приближенно поток П вектора  через бесконечно малую сферу радиуса e .

 

10.25. Найти div (grad U(x, y, z)).

 

10.26. Доказать тождество .

 

10.27. Найти rot (grad U(x, y, z)).

 

10.28. Найти .

 

10.29. Найти поток П вектора  через сферу .

 

10.30. Найти поток П вектора  через полную поверхность пирамиды, образованной плоскостями

 

10.31. Найти циркуляцию Ц вектора  вдоль окружности .

 

10.32. Найти циркуляцию Ц вектора  вдоль окружности .

 

10.33. Найти циркуляцию Ц вектора  вдоль контура L, если он окружает ось OZ.

 

10.34. Найти циркуляцию Ц вектора  вдоль контура L, если он не окружает ось OZ.

 

10.35. Найти , где .

 

Ответы

 

10.1. 8p. 10.2. . 10.3. . 10.4. . 10.5. . 10.6. 108p. 10.7. 0.

10.8. . 10.9. 0. 10.10. . 10.11. . 10.12. . 10.13. 0. 10.14. 0.

10.15. . 10.16. 36p. 10.17. . 10.18. 0. 10.19. 0. 10.20. . 10.21. . 10.22. . 10.23. . 10.24. . 10.25. . 10.27. 0. 10.28. 0. 10.29. . 10.30. 0. 10.31. 2p. 10.32. 2p.

10.33. 2p п, п – число оборотов при обходе оси OZ. 10.34. 0.

10.35. .