Раздел VIII. Тройные интегралы

Примеры

8.1. Вычислить тройной интеграл , где V есть прямоугольный параллелепипед

8.2. Вычислить тройной интеграл , где область V есть прямоугольный параллелепипед .

8.3. Вычислить тройной интеграл , где V есть прямоугольный параллелепипед .

8.4. Вычислить тройной интеграл , где область V определяется неравенствами

8.5. Вычислить тройной интеграл , где область V определяется неравенствами .

8.6. Вычислить тройной интеграл , где V есть область, ограниченная цилиндром и плоскостями .

8.7. Вычислить тройной интеграл , где V есть область, ограниченная плоскостями .

8.8. Вычислить тройной интеграл , где V есть область, ограниченная поверхностями .

8.9. С помощью перехода к цилиндрическим координатам вычислить тройной интеграл , где область V определяется неравенствами

8.10. С помощью перехода к цилиндрическим координатам вычислить тройной интеграл , где область V определяется неравенствами

8.11. Вычислить тройной интеграл , где область V есть эллипсоид .

8.12. С помощью перехода к цилиндрическим координатам вычислить тройной интеграл

, где область V определяется неравенствами .

8.13. С помощью перехода к цилиндрическим координатам вычислить тройной интеграл

, где область V ограничена поверхностями .

8.14. С помощью перехода к сферическим координатам вычислить тройной интеграл

8.15. С помощью перехода к сферическим координатам вычислить тройной интеграл

, где область V ограничена шаровой поверхностью .

8.16. С помощью перехода к сферическим координатам вычислить тройной интеграл

, где область V есть шар

8.17. С помощью тройного интеграла и с переходом к сферическим координатам вычислить объем шара .

8.18. С помощью тройного интеграла и с переходом к цилиндрическим координатам вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

8.19. С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями

8.20. С помощью тройного интеграла и с переходом к цилиндрическим координатам вычислить объем тела, ограниченного сферой и параболоидом .

8.21. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного параболоидом и конусом .

8.22. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , и .

8.23. С помощью тройного интеграла и с переходом к сферическим координатам вычислить объем тела, ограниченного поверхностью .

8.24. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , и .

8.25. С помощью тройного интеграла и с переходом к сферическим координатам вычислить объем тела, ограниченного поверхностью .

Ответы

8.1. 6. 8.2. 18. 8.3. 3080. 8.4. . 8.5. . 8.6. . 8.7. . 8.8. . 8.9. . 8.10. . 8.11. . 8.12. . 8.13. . 8.14. .

8.15. . 8.16. . 8.17. . 8.18. . 8.19. . 8.20. и . 8.21. . 8.22. . 8.23. . 8.24. . 8.25. .

Раздел IX. Криволинейные интегралы

Примеры

9.1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – отрезок прямой от А(0;0) до В(4;3).

9.2. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – дуга полукубической параболы

9.3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L –первая арка циклоиды .

9.4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – правый лепесток лемнискаты Бернулли .

9.5. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – часть спирали Архимеда , заключенная внутри круга радиуса с центром в полюсе.

9.6. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – эллипс

9.7. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – окружность .

9.8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где L – дуга логарифмической спирали .

9.9. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – отрезок прямой от точки А(1;1) до точки В(3;4).

9.10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – контур треугольника с вершинами А(1;2), В(3;1), С(2;5), пробегаемый в положительном направлении (против хода часовой стрелки).

9.11. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – первая четверть окружности , пробегаемая в положительном направлении (против хода часовой стрелки).

9.12. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , взятый вдоль окружности L: против хода часовой стрелки.

9.13. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл второго рода

, где L – пробегаемый в положительном направлении контур треугольника с вершинами в точках А(1;1), В(2;2) и С(1;3). Проверить найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.

9.14. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – дуга параболы от точки О(0;0) до точки А(1;1).

9.15. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру , где L – окружность

9.16. Вычислить криволинейный интеграл второго рода ,

где L – отрезок прямой от точки А(1;1) до точки В(2;3).

9.17. Пользуясь криволинейным интегралом второго рода, найти функцию , если

9.18. Пользуясь криволинейным интегралом второго рода, найти функцию , если

9.19. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – окружность , пробегаемая в положительном направлении.

9.20. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – окружность , пробегаемая в положительном направлении.

9.21. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – отрезок АВ биссектрисы второго координатного угла и абсцисса точки А равна 2 и ордината точки В равна 2.0