Раздел V. Определенный интеграл и его применение

Примеры

Вычислить следующие определенные интегралы.

5.1. . 5.2. .

5.3. . 5.4. .

5.5. . 5.6. .

5.7. . 5.8. .

5.9. . 5.10. .

5.11. . 5.12. .

5.13. . 5.14. .

5.15. . 5.16. .

5.17. . 5.18. .

5.19. . 5.20. .

5.21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1). осями координат, прямой x = 3 и параболой y=x²+1;

2). осью ординат, прямыми y = - 2, y = 3 и параболой 2x = y²;

3). параболами y = x² + 1, и прямой y = 5;

4). параболами y = x² и x = y².

5.22. Найти площади двух фигур, ограниченных параболой y² = 2x

и окружностью y² = 4x – x².

5.23. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y² = x (x – 1)².

5.24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

y = - x² + 6x – 5 и осями координат.

5.25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1). окружностью x² + y² = R²;

2). одной полуволной синусоиды y = sin x и осью Оx;

3). гиперболой y·x = 7 и прямыми x = 2, x = 7, y = 0;

4). кривой y = ln x и прямыми x = e, y = 0;

5). параболой y = 4 – x² и осью абсцисс;

6). полукубической параболой y² = x³, осью ординат и прямой y = 2;

7). линией и прямыми x = - a, x = a (a>0);

8). кубической параболой y = x³, прямой y = 2 и осью Оy;

9). кривыми y = e^x, y = e^-^x и прямой y = 4;

10). эллипсом (a>0, b>0);

11). Линиями y = x² и .

5.26. Вычислить площадь фигуры между смежными наибольшим и наименьшим радиусами-векторами каждой кривой:

1). ;

2). ;

3). ;

4). .

5.27. Вычислить длину окружности x² + y² = R² (R>0).

5.28. Найти длину астроиды (a>0).

5.29. Вычислить длину дуги параболы y² = 4x от вершины до точки M (1; 2).

Вычислить длину дуги кривой:

5.30. между прямыми (a>0).

5.31. от x = 0,75 до x = 2,4.

5.32. y = ln (2 cos x) между смежными точками пересечения о осями координат Оy и Оx.

5.33. Кардиоиды (a>0).

5.34. Первого завитка спирали Архимеда (a>0).

5.35. Всей кривой .

5.36. y² = 2px, отсеченной прямой (p>0).

5.37. Эллипс a > b вращается: 1). вокруг большой оси; 2). вокруг малой оси. Найти объемы получающихся эллипсоидов вращения.

5.38. Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). (a>0);

6). (b>0, R>0);

7). (a>0).

5.39. Определить площадь поверхности, образованной вращением кривой:

1). (R>0);

2). y = 0,5 x², отсеченной прямой y = 1,5, вокруг оси Оy;

3). ;

4). Одной полуволновой кривой y = sin x вокруг оси Оx;

5). Одной арки циклоиды вокруг оси Оx (a>0);

6). (b>0, R>0);

7).

8). Всей кривой x = a cos³ t, y = a sin³ t (a>0);

9). (a>0, b>0).

Ответы

5.1. . 5.2. . 5.3. . 5.4. . 5.5. e²^.. 5.6. 0,25. 5.7. – 1. 5.8. . 5.9. . 5.10. . 5.11. . 5.12. . 5.13. .

5.14. . 5.15. . 5.16. . 5.17. . 5.18. .

5.19. . 5.20. . 5.21. 1) 12; 2) ; 3) ; 4) .

5.22. . 5.23. . 5.24. 13.

5.25. 1) R²; 2) 2; 3) 7 ln 2,5; 4) 1; 5) ; 6) ; 7) ; 8). ;

9) ; 10) Пab; 11) . 5.26. 1). ; 2). ; 3). ; 4). .

5.27. 2 R. 5.28. 6a. 5.29. . 5.30. 2a sh1. 5.31. 1,35 + ln 2.

5.32. . 5.33. 8a. 5.34. . 5.35. .

5.36. . 5.37. 1). ; 2). .

5.38. 1) ph²; 2) 8 ; 3) 64 ; 58,5 ; 4) ; 5) ; 6) 2 ²R²b; 7) .

5.39. 1). 4 R²; 2). ; 3). ; 4). ; 5). ;

6). 4 ² bR; 7). ; 8). 2,4 a²;

Раздел VI. Несобственные интегралы.

Примеры

6.1. Вычислить несобственный интеграл первого рода .

6.2. Вычислить несобственный интеграл первого рода .

6.3. Вычислить несобственный интеграл первого рода .

6.4. Вычислить несобственный интеграл первого рода .

6.5. Вычислить несобственный интеграл первого рода .

6.6. Вычислить несобственный интеграл первого рода .

6.7. Вычислить несобственный интеграл первого рода .

6.8. Вычислить несобственный интеграл первого рода .

6.9. Вычислить несобственный интеграл первого рода .

6.10. Вычислить несобственный интеграл первого рода в смысле главного значения

6.11. Вычислить несобственный интеграл второго рода .

6.12. Вычислить несобственный интеграл второго рода .

6.13. Вычислить несобственный интеграл второго рода .

6.14. Вычислить несобственный интеграл второго рода .

6.15. Вычислить несобственный интеграл второго рода .

6.16. Вычислить несобственный интеграл второго рода .

6.17. Вычислить несобственный интеграл второго рода .

6.18. Вычислить несобственный интеграл второго рода .

6.19. Вычислить несобственный интеграл второго рода .

6.20. Вычислить несобственный интеграл второго рода в смысле главного значения

6.21. Исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода .

6.22. Исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода .

6.23. Исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода .

6.24. Вычислить несобственный интеграл первого рода , пользуясь интегралом Пуассона .

6.25. Вычислить несобственный интеграл первого рода , пользуясь интегралом Дирихле .

6.26. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода .

6.27. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода .

6.28. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода .

6.29. При каких значениях т несобственный интеграл второго рода .

сходится, при каких – расходится.

6.30. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода

Ответы

6.1. 1. 6.2. . 6.3. ¥. 6.4. . 6.5. . 6.6. . 6.7. . 6.8. . 6.9. . 6.10. p. 6.11. ¥. 6.12. . 6.13. 2. 6.14. p. 6.15. . 6.16. . 6.17. 2. 6.18. . 6.19. . 6.20. 0.

6.21. Расходится. 6.22. Сходится. 6.23. Сходится. 6.24. . 6.25. . 6.26. Сходится. 6.27. Расходится. 6.28. Расходится. 6.29. При m <3 сходится, при расходится. 6.30. Сходится.