Примеры
Вычислить следующие определенные интегралы.
5.1. 
. 5.2. 
.
5.3. 
. 5.4. 
.
5.5. 
. 5.6. 
.
5.7. 
. 5.8. 
.
5.9. 
. 5.10. 
.
5.11. 
. 5.12. 
.
5.13. 
. 5.14. 
.
5.15. 
. 5.16. 
.
5.17. 
. 5.18. 
.
5.19. 
. 5.20. 
.
5.21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:
1). осями координат, прямой x = 3 и параболой y=x2+1;
2). осью ординат, прямыми y = - 2, y = 3 и параболой 2x = y2;
3). параболами y = x2 + 1, 
и прямой y = 5;
4). параболами y = x2 и x = y2.
5.22. Найти площади двух фигур, ограниченных параболой y2 = 2x
и окружностью y2 = 4x – x2.
5.23. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y2 = x (x – 1)2.
5.24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
y = - x2 + 6x – 5 и осями координат.
5.25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:
1). окружностью x2 + y2 = R2;
2). одной полуволной синусоиды y = sin x и осью Оx;
3). гиперболой y·x = 7 и прямыми x = 2, x = 7, y = 0;
4). кривой y = ln x и прямыми x = e, y = 0;
5). параболой y = 4 – x2 и осью абсцисс;
6). полукубической параболой y2 = x3, осью ординат и прямой y = 2;
7). линией 
и прямыми x = - a, x = a (a>0);
8). кубической параболой y = x3, прямой y = 2 и осью Оy;
9). кривыми y = ex, y = e-x и прямой y = 4;
10). эллипсом 
(a>0, b>0);
11). Линиями y = x2 и 
.
5.26. Вычислить площадь фигуры между смежными наибольшим и наименьшим радиусами-векторами каждой кривой:
1). 
;
2). 
;
3). 
;
4). 
.
5.27. Вычислить длину окружности x2 + y2 = R2 (R>0).
5.28. Найти длину астроиды 
(a>0).
5.29. Вычислить длину дуги параболы y2 = 4x от вершины до точки M (1; 2).
Вычислить длину дуги кривой:
5.30. 
между прямыми 
(a>0).
5.31. 
от x = 0,75 до x = 2,4.
5.32. y = ln (2 cos x) между смежными точками пересечения о осями координат Оy и Оx.
5.33. Кардиоиды 
(a>0).
5.34. Первого завитка спирали Архимеда 
(a>0).
5.35. Всей кривой 
.
5.36. y2 = 2px, отсеченной прямой 
(p>0).
5.37. Эллипс 
a > b вращается: 1). вокруг большой оси; 2). вокруг малой оси. Найти объемы получающихся эллипсоидов вращения.
5.38. Определить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
1). 
;
2). 
;
3). 
;
4). 
;
5). 
(a>0);
6). 
(b>0, R>0);
7). 
(a>0).
5.39. Определить площадь поверхности, образованной вращением кривой:
1). 
(R>0);
2). y = 0,5 x2, отсеченной прямой y = 1,5, вокруг оси Оy;
3). 
;
4). Одной полуволновой кривой y = sin x вокруг оси Оx;
5). Одной арки циклоиды 
вокруг оси Оx (a>0);
6). (b>0, R>0);
7). 
8). Всей кривой x = a cos3 t, y = a sin3 t (a>0);
9). 
(a>0, b>0).
Ответы
5.1. 
. 5.2. 
. 5.3. 
. 5.4. 
. 5.5. e2.. 5.6. 0,25. 5.7. – 1. 5.8. 
. 5.9. 
. 5.10. 
. 5.11. 
. 5.12. 
. 5.13. 
.
5.14. 
. 5.15. 
. 5.16. 
. 5.17. 
. 5.18. 
.
5.19. 
. 5.20. 
. 5.21. 1) 12; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
5.22. 
. 5.23. 
. 5.24. 13.
5.25. 1) 
R2; 2) 2; 3) 7 ln 2,5; 4) 1; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8). 
;
9) 
; 10) Пab; 11) 
. 5.26. 1). 
; 2). 
; 3). ; 4). .
5.27. 2 R. 5.28. 6a. 5.29. 
. 5.30. 2a sh1. 5.31. 1,35 + ln 2.
5.32. 
. 5.33. 8a. 5.34. 
. 5.35. 
.
5.36. 
. 5.37. 1). 
; 2). 
.
5.38. 1) ph2; 2) 8 ; 3) 64 ; 58,5 ; 4) 
; 5) 
; 6) 2 2 R2 b; 7) 
.
5.39. 1). 4 R2; 2). 
; 3). 
; 4). 
; 5). 
;
6). 4 2 bR; 7). 
; 8). 2,4 a2;
Раздел VI. Несобственные интегралы.
Примеры
6.1. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
.
6.2. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
.
6.3. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
.
6.4. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
.
6.5. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
.
6.6. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
.
6.7. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
.
6.8. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
.
6.9. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
.
6.10. Вычислить несобственный интеграл первого рода в смысле главного значения
.
6.11. Вычислить несобственный интеграл второго рода 
.
6.12. Вычислить несобственный интеграл второго рода 
.
6.13. Вычислить несобственный интеграл второго рода 
.
6.14. Вычислить несобственный интеграл второго рода 
.
6.15. Вычислить несобственный интеграл второго рода 
.
6.16. Вычислить несобственный интеграл второго рода 
.
6.17. Вычислить несобственный интеграл второго рода 
.
6.18. Вычислить несобственный интеграл второго рода 
.
6.19. Вычислить несобственный интеграл второго рода 
.
6.20. Вычислить несобственный интеграл второго рода в смысле главного значения
.
6.21. Исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода 
.
6.22. Исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода 
.
6.23. Исследовать сходимость несобственного интеграла первого рода 
.
6.24. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
, пользуясь интегралом Пуассона 
.
6.25. Вычислить несобственный интеграл первого рода 
, пользуясь интегралом Дирихле 
.
6.26. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода 
.
6.27. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода 
.
6.28. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода 
.
6.29. При каких значениях т несобственный интеграл второго рода 
.
сходится, при каких – расходится.
6.30. Исследовать сходимость несобственного интеграла второго рода
.
Ответы
6.1. 1. 6.2. 
. 6.3. ¥. 6.4. 
. 6.5. 
. 6.6. 
. 6.7. 
. 6.8. 
. 6.9. 
. 6.10. p. 6.11. ¥. 6.12. 
. 6.13. 2. 6.14. p. 6.15. . 6.16. 
. 6.17. 2. 6.18. 
. 6.19. 
. 6.20. 0.
6.21. Расходится. 6.22. Сходится. 6.23. Сходится. 6.24. 
. 6.25. . 6.26. Сходится. 6.27. Расходится. 6.28. Расходится. 6.29. При m <3 сходится, при 
расходится. 6.30. Сходится.
