Математика. Математический анализ
Сборник задач
 |
Раздел I. Теория последовательностей и функций одной переменной
Примеры
1.1. Доказать, что последовательность 
является бесконечно большой.
1.2. Доказать, что последовательность 
является бесконечно малой.
1.3. Доказать, что предел последовательности 
равен 1.
1.4. Доказать, что 
.
1.5. Доказать, что 
. По данному числу 
найти наибольшее число 
такое, чтобы при любом х из d – окрестности числа 3 значение функции (2х-1) оказалось в e – окрестности числа 3.
Найти пределы:
1.6. 
. 1.7. 
.
1.8. 
. 1.9. 
.
1.10. 
. 1.11. 
.
1.12. 
. 1.13. 
.
1.14. 
. 1.15. 
.
1.16. 
. 1.17. 
.
1.18. 
. 1.19. 
.
1.20. 
1.21. 
.
1.22. 
. 1.23. 
.
1.24. 
. 1.25. 
.
1.26. 
. 1.27. 
..
1.28. 
. 1.29. 
.
1.30. 
. 1.31. 
1.32. 
. 1.33. 
.
1.34. 
. 1.35. 
.
1.36. 
. 1.37. 
.
1.38. 
. 1.39. 
1.40. 
1.41. 
.
1.42. 
1.43. 
1.44. 
. 1.45. 
1.46. 
. 1.47. 
.
1.48. 
. 1.49. 
.
1.50. 
. 1.51. 
.
1.52. 
. 1.53. 
, n – целое полож. число.
1.54. 
. 1.55. 
.
1.56. 
. 1.57. 
.
1.58. 
. 1.59. 
1.60. 
. 1.61. 
.
1.62. 
. 1.63. 
.
1.64. а) 
; 1.65. 
.
б) 
;
в) 
1.66. 
. 1.67. 
.
1.68. 
. 1.69. 
.
1.70. 
. 1.71. 
.
1.72. 
. 1.73. 
.
1.74. 
. 1.75. 
.
1.76. 
. 1.77. 
.
1.78. 
. 1.79. 
.
1.80. 
.
1.81. Определить порядки бесконечно малых:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
относительно бесконечно малой х.
1.82. Доказать, что при 
:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
,
где» – означает знак эквивалентности.
1.83. Указать точку разрыва функции 
. Найти 
.
1.84. Найти точки разрыва и определить их характер:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
.
1.85. Найти асимптоты кривых:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
;
10) 
; 11) 
; 12) 
.
Ответы
1.6. 0. 1.7. ¥. 1.8. 2. 1.9. –0,6. 1.10. 
. 1.11. 0,25. 1.12. 
. 1.13. 
. 1.14. 
. 1.15. 0. 1.16. 
. 1.17. 2. 1.18. 0. 1.19. 
. 1.20. 0. 1.21. 0. 1.22. 2. 1.23. 0. 1.24. 4. 1.25. 0.
1.26. –1. 1.27. 0,75. 1.28. 0. 1.29. 
. 1.30. 0,5. 1.31. 0,5. 1.32. 1. 1.33. 3. 1.34. 1. 1.35. 0. 1.36. 
. 1.37. 
. 1.38. 0,5. 1.39. 10. 1.40. –0,4. 1.41. –1. 1.42. 
. 1.43. 
.
1.44. 1. 1.45. ¥. 1.46. 0. 1.47. . 1.48. 0. 1.49. 0 
. 
. 1.50. 1. 1.51. 2. 1.52. 0. 1.53. n. 1.54. 1,5. 1.55. 0,5. 1.56. 0,5. 1.57. –1,5. 1.58. –1. 1.59. –0,5. 1.60. 
. 1.61. 
. 1.62. 
. 1.63. 0. 1.64. а) 0,5; б) 
; в) 1. 1.65. 
. 1.66. 1. 1.67. 0. 1.68. 
. 1.69. 0.
1.70. 
. 1.71. е. 1.72. т. 1.73. 1. 1.74. е. 1.75. 1. 1.76. ln a. 1.77. e. 1.78. 
. 1.79. 0. 1.80. 1. 1.81. 1) 2-го; 2) 3-го; 3) 1-ого; 4) 1-ого; 5) 3-го; 6) 2-го; 7) 3-го; 8) 2-го. 1.83. х = 3.
.
.
Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Примеры
Найти производные от функций:
2.1. 
. 2.2. 
.
2.3. 
. 2.4. 
.
2.5. 
. 2.6. 
.
2.7. 
. 2.8. 
.
2.9. 
. 2.10. 
.
2.11. 
. 2.12. 
.
2.13. 
. 2.14. 
.
2.15. 
. 2.16. 
.
2.17. 
. 2.18. 
.
2.19. 
. 2.20. 
.
2.21. 
. 2.22. 
.
2.23. 
. 2.24. 
.
2.25. 
.
2.26. Найти производную 2-ого порядка от функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
2.27. Найти производные от у по х:
2.28. Применить формулу Лейбница для вычисления производной:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Найти интервалы монотонности данных функций:
2.29. 
. 2.30. 
.
2.31. 
. 2.32. 
.
Провести полное исследование функций и построить ее график:
2.33. 
. 2.34. 
.
2.35. 
. 2.36. 
.
2.37. 
. 2.38. 
.
2.39. 
. 2.40. 
.
2.41. 
. 2.42. 
.
2.43. 
. 2.44. 
.
2.45. 
. 2.46. 
.
2.47. 
. 2.48. 
.
2.49. 
.2.50. 
.
2.51. . 2.52. 
.
2.53. 
. 2.54. 
.
2.55. 
.
2.56. Найти производные от y по x второго порядка:
1). x=ln t, y=t2-1;
2). x=arcsin t, y=ln (1-t2);
3). x=a (
– sin ), y=a (1-cos ).
2.57. Найти общие выражения для производных порядка n от функций
1). y=eax; 2). y= 
3). y= 
2.58. Показать, что функция y=ex sin x удовлетворяет соотношению
y''-2y'+2y=0
2.59. Найти дифференциалы второго порядка от функций:
1). y= 
;
2). y= 4- x 
.
2.60. Удовлетворяет ли функция y= 1 - 
условиям теоремы Ролля на сегментами [-1; 1].
2.61. Написать формулу Лагранта и найти c для функций:
1). f(x)=x3 на отрезке [а; b];
2). f(x)=arctg x на отрезке [0; 1];
3). f(x)=x2+3 на отрезке [-1; 2];
4). f(x)=arcsin x на отрезке [0; 1];
5). f(x)=ln x на отрезке [1; 2).
2.62. Написать формулу Коши и найти c для функций:
1). sin x и cos x на отрезке [0; 
];
2). x2 и 
на отрезке [1; 4].
2.63. Написать формулу Коши для функций f(x)=e2x (x)=1+ex на отрезке [а; b].
2.64. Найти пределы по правилам Лопиталя.
1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
5). 
; 6). 
; 7). 
; 8). 
;
9). 
n>0; 10). 
; 11). 
.
2.65. Разложить многочлен x3+2x2+3x+4 по степеням двучлена x-1, пользуясь формулой Тейлора.
2.66. Разложить функцию f(x)=x4-4x2 по степеням x+2, пользуясь формулой Тейлора.
2.67. Найти формулу Маклорена n=20 порядка для функции y=xex.
2.68. Применить формулу Маклорена к функции f(x)= sin x, полагая n=5.
Ответы
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
. 2.4. 
.
2.5. 
. 2.6. 
.
2.7. 
. 2.8. 
. 2.9. 
. 2.10. 
. 2.11. 
.
2.12. 
. 2.13. 
. 2.14. 0.
2.15. 
.
2.16. 
. 2.17. 
. 2.18. 
.
2.19. 
. 2.20. 
.
2.21. 
. 2.22. 
.
2.23. 
.
2.24. 
. 2.25. 
.
2.26. 
.
2.27. 
.
2.29. 
.
2.30. 
.
2.31. 
. 2.32. монотонно возрастает.
2.56. 1). 4t2, 2). - 
, 3). - 
, 2.57. 1). an eax; 2). 
;
3). 
. 2.59. 1). 
;
2). 4 
.
2.60. Нет, так как внутри сегмента имеется точка x=0, в которой производная не существует.
2.61. 1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
; 5). 
;
2.62. 1). 
; 2). 
. 2.63. eb+ea=2ec , где a<c<b.
2.64. 1) 
; 2) ln a; 3). 
; 4) 1,5; 5) ; 6) 2; 7) 
; 8) - 
; 9) 0; 10) 0,5; 11) 0.
2.65. 10+10 (x-1)+5 (x-1)2+(x-1)3. 2.66. (x+2)4-8 (x+2)3+20 (x+2)2-16 (x+2).
2.67. 
, где 0< 
<1.
2.68. 
, где 0< <1.
Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
Примеры
3.1. Найти частные производные первого порядка от функций:
1). z=x3+2xy2-y4
2). u=cos2 (x+y)-sin2 x+cos2y
3). z= 
4). z=cos (ax+by), где а=const, b=const
5). z= 
6). z=x ln y+arcsin y
7). z=xy
8). z=(sin x)cos y
3.2. Найти полные дифференциалы функций:
1). z=2x-4y; 2). z=xy ; 3). u=xyz; 4). u=ln (x2-y2).
3.3. Найти частные производные третьего порядка от функции z=x3+x2y+y3.
3.4. Найти производные второго порядка от функции z= 
.
3.5. Найти d2 z и d3 z от функции z=y ln x.
3.6. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:
1). z=x2+2y2 в точке (1; 1; 3).
2). x2+y2 = z2 в точке (3; 4; 5)
3.7. Найти углы между нормалью к поверхности
x2+y2-xz-yz=0 в точке М (0; 2; 2) и осями координат.
3.8. Исследовать на экстремум следующие функции:
1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
;
5). 
; 6). 
;
7). 
; 8). 
;
9). 
(a>0); 10). 
;
11). 
(a>0);
12). 
.
3.9. Найти производные 
, 
от функции 
, если 
, 
.
3.10. Найти производные , от функции 
, если 
, 
.
3.11. Найти производную 
от функции 
, если 
, 
.
3.12. Дано 
. Показать, что функция u(x,y) удовлетворяет соотношению 
.
3.13. Найти grad z от следующих функций:
1). 
в точке (3; 2);
2). 
в точке (2; 1);
3). 
в точке (1; 1).
3.14. Найти производную функции z=ln(x+y) в точке (1; 2), принадлежащей параболе y2=4 x, по направлению этой параболы.
3.15. Найти производную функции z=x3-3x2y+3xy2+1 в точке (3; 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6; 5).
Ответы
3.1. 1). 
; 
;
2). 
; 
;
3). 
; 
;
4). 
; 
;
5). 
; 
;
6). 
; 
; 7). 
; 
;
8). 
; 
.
3.2. 1). 
; 2). 
; 3). 
;
4). 
.
3.3. 
3.4. 
3.6. 1). 
2). 
кроме точки M (0; 0; 0).
3.7. 
3.8. 1). zmin= 0 в точке (0; 0);
2.) zmin= 0 в точке (1; 0);
3). экстремумов нет;
4). zmin= 0 в точке (0; 0);
5). zmin= -1 в точке (-4; 1);
6). zmax= 1 в точке (0; 0);
7). zmax= 12 в точке (4; 4);
8). zmin= 
в точке (-2; 0);
9). zmax= a2 в точках (a; a); (-a; -a);
zmin= -a2 в точках (-a; а); (a; -a);
10). zmin= 2 в точке (1; 1);
11). 
12). 
3.9. 
3.10. 
3.11. 
3.13. 1). 
2). 
3). 
3.14. 
3.15. 0.
Раздел IV. Неопределенный интеграл
Примеры
Вычислить следующие неопределенные интегралы:
4.1. 
; 4.2. 
;
4.3. 
; 4.4. 
;
4.5. 
; 4.6. 
;
4.7. 
; 4.8. 
;
4.9. 
; 4.10. 
;
4.11. 
; 4.12. 
;
4.13. 
; 4.14. 
;
4.15. 
; 4.16. 
;
4.17. 
; 4.18. 
;
4.19. 
; 4.20. 
;
4.21. 
; 4.22. 
;
4.23. 
4.24. 
;
4.25. 
; 4.26. 
;
4.27. 
; 4.28. 
;
4.29. 
; 4.30. 
;
4.31. 
; 4.32. 
;
4.33. 
; 4.34. 
;
4.35. 
; 4.36. 
;
4.37. 
; 4.38. 
;
4.39. 
; 4.40. 
;
4.41. 
; 4.42. 
;;
4.43. 
; 4.44. 
;
4.45. 
; 4.46. 
;
4.47. 
;
Ответы
4.1. x3+c. 4.2. 
. 4.3. 
. 4.4. 
.
4.5. 
. 4.6. 
. 4.7. 
. 4.8. 
.
4.9. 
. 4.10. 
. 4.11. 
. 4.12. – ln cos x +c.
4.13. x ln x – x+c. 4.14. 
. 4.15. 
.
4.16. 
. 4.17. 
. 4.18. 
.
4.19. 
. 4.20. 
. 4.21. 
.
4.22. 
. 4.23. 
.
4.24. 
.
4.25. 
. 4.26. 
.
4.27. 
. 4.28. 
. 4.29. 
.
4.30. 
. 4.31. 
.
4.34. 
. 4.35. 
. 4.36. 
.
4.37. 
. 4.38. 
.
4.39. 
. 4.40. 
. 4.41. 
.
4.42. 
. 4.43. 
.
4.44. 
. 4.45. 
. 4.46. 
.
4.47. 
.
