Раздел IV. Неопределенный интеграл

Математика. Математический анализ

 

 

Сборник задач

 

Раздел I. Теория последовательностей и функций одной переменной

 

Примеры

 

1.1. Доказать, что последовательность  является бесконечно большой.

1.2. Доказать, что последовательность  является бесконечно малой.

1.3. Доказать, что предел последовательности  равен 1.

1.4. Доказать, что .

1.5. Доказать, что . По данному числу  найти наибольшее число  такое, чтобы при любом х из d – окрестности числа 3 значение функции (2х-1) оказалось в e – окрестности числа 3.

 

Найти пределы:

1.6. .                                                     1.7. .

1.8. .                                                  1.9. .

1.10.  .                                             1.11. .

1.12. .                                                1.13. .

1.14. .                                             1.15. .

1.16. .                                               1.17.  .

1.18. .                                            1.19. .

1.20.                                  1.21.  .

1.22.  .                                    1.23. .

1.24.  .                                      1.25. .

1.26.  .                                1.27. ..

1.28.  .                              1.29. .

1.30. .                 1.31.

1.32. .               1.33. .        

1.34. .                                                 1.35. .

1.36.  .                                       1.37. .

1.38.  .                                       1.39.

1.40.                                     1.41. .

1.42.       1.43.

1.44. .                1.45.  

1.46.  .                    1.47.  .

1.48.  .                                   1.49.  .       

1.50.  .                       1.51.  .

1.52.  .                                                 1.53.  , n – целое полож. число.

1.54.  .                                          1.55.  .

1.56.  .                                            1.57. .

1.58. .                                      1.59.

1.60. .                                     1.61.  .

1.62.  .                               1.63.  .

1.64. а)  ;                                  1.65.  .

б) ;

в)  

1.66.  .                                          1.67.  .

1.68.  .                                        1.69.  .

1.70.  .                                 1.71.  .

1.72.  .                                        1.73. .

1.74.  .                                        1.75. .

1.76.  .                                                1.77. .

1.78.  .                                1.79.  .

1.80.  .

 

1.81. Определить порядки бесконечно малых:

1) ; 2) ;   3) ;      4) ;

5) ; 6) ; 7) ;  8)

относительно бесконечно малой х.

 

1.82. Доказать, что при :

1) ;     2) ; 3) ; 4) ;

5) ;   6) ; 7) ,

где» – означает знак эквивалентности.

1.83. Указать точку разрыва функции . Найти .

 

1.84. Найти точки разрыва и определить их характер:

1)  ;      2) ;        3)  ;       4)  ;

5)  ; 6)  ;    7)  .

1.85. Найти асимптоты кривых:

1) ;                          2) ;                          3) ;

4) ;                           5) ;                6) ;

7) ;                  8) ;                   9) ;

10) ;     11) ;       12) .

Ответы

1.6. 0. 1.7. ¥. 1.8. 2. 1.9. –0,6. 1.10. . 1.11. 0,25. 1.12. . 1.13. . 1.14. . 1.15. 0. 1.16. . 1.17. 2. 1.18. 0. 1.19. . 1.20. 0. 1.21. 0. 1.22. 2. 1.23. 0. 1.24. 4. 1.25. 0.

1.26. –1. 1.27. 0,75. 1.28. 0. 1.29. . 1.30. 0,5. 1.31. 0,5. 1.32. 1. 1.33. 3. 1.34. 1. 1.35. 0. 1.36. . 1.37. . 1.38. 0,5. 1.39. 10. 1.40. –0,4. 1.41. –1. 1.42. . 1.43. .

1.44. 1. 1.45. ¥. 1.46. 0. 1.47. . 1.48. 0. 1.49. 0 . . 1.50. 1. 1.51. 2. 1.52. 0. 1.53. n. 1.54. 1,5. 1.55. 0,5. 1.56. 0,5. 1.57. –1,5. 1.58. –1. 1.59. –0,5. 1.60. . 1.61. . 1.62. . 1.63. 0. 1.64. а) 0,5; б) ; в) 1. 1.65. . 1.66. 1. 1.67. 0. 1.68. . 1.69. 0.

1.70. . 1.71. е. 1.72. т. 1.73. 1. 1.74. е. 1.75. 1. 1.76. ln a. 1.77. e. 1.78. . 1.79. 0. 1.80. 1. 1.81. 1) 2-го; 2) 3-го; 3) 1-ого; 4) 1-ого; 5) 3-го; 6) 2-го; 7) 3-го; 8) 2-го. 1.83. х = 3.

.

.

Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

 

Примеры

Найти производные от функций:

2.1.  .                                   2.2.  .

2.3. .                                                2.4.  .

2.5.  .                                                         2.6.  .

2.7.  .                                           2.8.  .

2.9.  .                                   2.10.  .

2.11.  .                        2.12.  .

2.13. .                      2.14.  .

2.15.  .                                 2.16.  .

2.17.  .                                    2.18.  .

2.19.  .                                                 2.20.  .

2.21.  .                                              2.22.  .

2.23.  .                               2.24. .

2.25.  .

 

2.26. Найти производную 2-ого порядка от функций:

1) ;      2) ;     3) ;     4)  .

 

2.27. Найти производные от у по х:

2.28. Применить формулу Лейбница для вычисления производной:

1) ; 2) ; 3) .

 

 

Найти интервалы монотонности данных функций:

2.29.  .                           2.30.  .

2.31.  .                                     2.32.  .

 

Провести полное исследование функций и построить ее график:

2.33.  .                                     2.34.  .

2.35.  .                                              2.36.  .

2.37.  .                                            2.38.  .

2.39.  .                               2.40. .

2.41.  .                                            2.42.  .

2.43.  .                                           2.44. .

2.45.  .                                          2.46. .

2.47.  .                                 2.48. .

2.49.                                            .2.50. .

2.51.  .                                             2.52. .

2.53.  .                                              2.54.  .

2.55.  .

 

2.56. Найти производные от y по x второго порядка:

 

1). x=ln t, y=t²-1;

2). x=arcsin t, y=ln (1-t²);

3). x=a (  – sin ), y=a (1-cos ).

 

2.57. Найти общие выражения для производных порядка n от функций

1). y=e^ax;     2). y=       3). y=

 

2.58. Показать, что функция y=e^x sin x удовлетворяет соотношению

y''-2y'+2y=0

 

2.59. Найти дифференциалы второго порядка от функций:

1). y= ;

2). y= 4^{- x .}

2.60. Удовлетворяет ли функция y= 1 -  условиям теоремы Ролля на сегментами [-1; 1].

2.61. Написать формулу Лагранта и найти c для функций:

1). f(x)=x³ на отрезке [а; b];

2). f(x)=arctg x на отрезке [0; 1];

3). f(x)=x²+3 на отрезке [-1; 2];

4). f(x)=arcsin x на отрезке [0; 1];

5). f(x)=ln x на отрезке [1; 2).

 

2.62. Написать формулу Коши и найти c для функций:

1). sin x и cos x на отрезке [0; ];

2). x² и  на отрезке [1; 4].

 

2.63. Написать формулу Коши для функций f(x)=e^2x (x)=1+e^x на отрезке [а; b].

 

2.64. Найти пределы по правилам Лопиталя.

1). ; 2). ;     3). ;       4).

5). ;     6). ; 7). ; 8). ;

9).  n>0; 10). ;                                    11). .

 

2.65. Разложить многочлен x³+2x²+3x+4 по степеням двучлена x-1, пользуясь формулой Тейлора.

 

2.66. Разложить функцию f(x)=x⁴-4x² по степеням x+2, пользуясь формулой Тейлора.

 

2.67. Найти формулу Маклорена n=20 порядка для функции y=xe^x.

 

2.68. Применить формулу Маклорена к функции f(x)= sin x, полагая n=5.

 

Ответы

 

2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. . 2.9. . 2.10. . 2.11. .

2.12. . 2.13. . 2.14. 0.

2.15. .

2.16. . 2.17. . 2.18. .

2.19. . 2.20. .

2.21. . 2.22. .

2.23. .

2.24. . 2.25. .

2.26. .

2.27. .

2.29. .

2.30. .

2.31. . 2.32. монотонно возрастает.

2.56. 1). 4t², 2). - , 3). - , 2.57. 1). aⁿ e^ax; 2).  ;

3).  . 2.59. 1).  ;

2). 4  .

2.60. Нет, так как внутри сегмента имеется точка x=0, в которой производная не существует.

2.61. 1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5). ;

2.62. 1). ; 2). . 2.63. e^b+e^a=2e^c , где a<c<b.

2.64. 1) ; 2) ln a; 3). ; 4) 1,5; 5) ; 6) 2; 7) ; 8) - ; 9) 0; 10) 0,5; 11) 0.

2.65. 10+10 (x-1)+5 (x-1)²+(x-1)³. 2.66. (x+2)⁴-8 (x+2)³+20 (x+2)²-16 (x+2).

2.67. , где 0< <1.

2.68.  , где 0< <1.

Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

 

Примеры

3.1. Найти частные производные первого порядка от функций:

1). z=x³+2xy²-y⁴

2). u=cos² (x+y)-sin² x+cos²y

3). z=

4). z=cos (ax+by), где а=const, b=const

5). z=

6). z=x ln y+arcsin y

7). z=x^y

8). z=(sin x)^{cos y}

 

3.2. Найти полные дифференциалы функций:

1). z=2x-4y;  2). z=x^y ;     3). u=xyz;     4). u=ln (x²-y²).

 

3.3. Найти частные производные третьего порядка от функции z=x³+x²y+y³.

 

3.4. Найти производные второго порядка от функции z=  .

 

3.5. Найти d² z и d³ z от функции z=y ln x.

 

3.6. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности:

1). z=x²+2y² в точке (1; 1; 3).

2). x²+y² = z² в точке (3; 4; 5)

 

3.7. Найти углы между нормалью к поверхности

x²+y²-xz-yz=0 в точке М (0; 2; 2) и осями координат.

 

3.8. Исследовать на экстремум следующие функции:

1).  ;       2).  ;         3).  ;      4).  ;

5).  ;                       6).  ;

7).  ;                                      8).  ;

9).  (a>0);                 10).  ;

11).  (a>0);                 

12).  .

3.9. Найти производные ,  от функции , если  ,  .

 

3.10. Найти производные  ,  от функции  , если  ,  .

 

3.11. Найти производную  от функции  , если  , .

 

3.12. Дано . Показать, что функция u(x,y) удовлетворяет соотношению  .

 

3.13. Найти grad z от следующих функций:

1).  в точке (3; 2);

2).  в точке (2; 1);

3).  в точке (1; 1).

 

3.14. Найти производную функции z=ln(x+y) в точке (1; 2), принадлежащей параболе y²=4 x, по направлению этой параболы.

 

3.15. Найти производную функции z=x³-3x²y+3xy²+1 в точке (3; 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6; 5).

 

Ответы

3.1.   1). ; ;           

2). ;  ;

    3). ;  ;

    4).  ;  ;

    5).  ;  ;

    6).  ;  ; 7).  ;  ;

    8).  ;  .

3.2. 1). ; 2). ; 3).  ;

    4).  .

3.3.

3.4.

3.6. 1).

    2).  кроме точки M (0; 0; 0).

3.7.

3.8.   1). z_min= 0     в точке      (0; 0);

    2.) z_min= 0     в точке      (1; 0);

    3). экстремумов нет;

    4). z_min= 0     в точке      (0; 0);

    5). z_min= -1    в точке      (-4; 1);

    6). z_max= 1     в точке      (0; 0);

    7). z_max= 12   в точке      (4; 4);

    8). z_min= в точке      (-2; 0);

    9). z_max= a²    в точках    (a; a); (-a; -a);

          z_min= -a² в точках    (-a; а); (a; -a);

    10). z_min= 2   в точке      (1; 1);

    11).

    12).

3.9.

3.10.      

3.11.   3.13. 1).  2).  3).

3.14.   3.15. 0.

Раздел IV. Неопределенный интеграл

Примеры

Вычислить следующие неопределенные интегралы:

4.1. ;                                                4.2. ;

4.3. ;                             4.4. ;

4.5. ;                        4.6. ;

4.7. ;                                                4.8. ;

4.9. ;                                     4.10. ;

4.11. ;                                      4.12. ;

4.13. ;                                              4.14. ;

4.15. ;                                        4.16. ;

4.17. ;                                              4.18. ;

4.19. ;                                               4.20. ;

4.21. ;                                    4.22.  ;

4.23.                                    4.24.  ;     

4.25.  ;                                              4.26.  ;

4.27.  ;                                         4.28.  ;

4.29.  ;                                         4.30.  ;      

4.31.  ;                                             4.32.  ; 

4.33.  ;                               4.34.  ;    

4.35.  ;                                       4.36.  ;

4.37.  ;                                         4.38.  ;         

4.39.  ;                              4.40.  ;       

4.41.  ;                                      4.42.  ;;

4.43.  ;                                      4.44.  ;

4.45.  ;                                     4.46.  ;

4.47.  ;

Ответы

 

4.1. x³+c. 4.2. . 4.3. . 4.4. .

4.5. . 4.6. . 4.7. . 4.8. .

4.9. . 4.10. . 4.11. . 4.12. – ln cos x +c.

4.13. x ln x – x+c. 4.14. . 4.15. .

4.16. . 4.17. . 4.18. .

4.19. . 4.20. . 4.21. .

4.22. . 4.23. .

4.24. .

4.25. . 4.26. .

4.27. . 4.28. . 4.29. .

4.30. . 4.31. .

4.34. . 4.35. . 4.36. .

4.37. . 4.38. .

4.39. . 4.40. . 4.41. .

4.42. . 4.43. .

4.44. . 4.45. . 4.46. .

4.47.  .