ЛЕКЦИЯ 2
Извлечение корня 
-й степени из комплексных чисел,
решение алгебраических уравнений
Что главное мы узнали на прошлой лекции
Мы познакомились с алгебраической (декартовой) 
, тригонометрической 
и показательной 
формами записи комплексных чисел, геометрическим смыслом операций над комплексными числами: сложением, вычитанием, умножением и делением.
Что мы узнаем на этой лекции
Мы продолжим изучение геометрического смысла операций над комплексными числами. Теперь это будут операции возведения в натуральную степень и извлечения корня из комплексных чисел. Также мы узнаем некоторые важные свойствах многочленов и о решении алгебраических уравнений.
Возведение комплексных чисел в натуральную степень
Пусть задано комплексное число 
в тригонометрической форме. Какое получится число при возведении его в квадрат? Так как при умножении комплексных чисел модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются, то при возведении в квадрат модуль комплексного числа возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2. При возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на .
Итак, справедлива формула
(2)
Это выражение называется формулой Муавра.
Пример 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 
.
Решение. Для возведения в степень 9 числа 
найдем его модуль 
и аргумент 
.
Рис. 1.2. Модуль и аргумент комплексного числа 
Для поиска аргумента числа 
заметим, что 
и при этом число находится во 2-й четверти. Отсюда главное значение аргумента 
равно 
. Так как 
, а 
, то модуль искомого числа равен 512, а главное значение его аргумента равно 
. Кстати, само число при этом равно 
.
Пример 3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа 
, где 
, 
, 
.
Решение. План действий следующий. Мы найдем модуль и аргумент чисел 
, 
, 
. Затем мы найдем искомый модуль числа, учитывая, что при возведении в степень модуль возводится в эту же степень, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, при делении – соответствующие модули делятся. После этого мы займемся аргументами чисел , , и, учитывая соответствующие правила для аргументов, найдем искомый аргумент.
Рассмотрим число и вычислим модуль 
. Найдем тангенс его аргумента 
. Т.к. число находится в четвертой четверти, то главное значение его аргумента 
равно 
или 
.
Рис. 1. 3. Модуль и аргумент комплексного числа
Рассмотрим теперь число 
и вычислим его модуль 
. Найдем тангенс аргумента этого числа 
. Так как точка находится в третьей четверти, то главное значение его аргумента 
Рис. 1.4. Модуль и аргумент комплексного числа
Обратите внимание, что если равно 
, то 
равно 
. Добавочное слагаемое 
не меняет тангенса аргумента. Оно связано с необходимостью «попасть» в нужную четверть.
У числа 
найдем модуль 
. Тангенс аргумента здесь равен 
. Соответственно лавное значение его аргумента 
равно 
.
Заметим, что 
, т.е. модуль и аргумент этого числа равны 1 и 
. Теперь найдем 
- искомый модуль комплексного числа и одно из значений аргумента 
, равное 
. Отсюда главное значение аргумента равно 
. Ответ. 
, 
.
8. Извлечение корня -й степени из комплексных чисел
Пусть задано комплексное число в тригонометрической форме. Какое число при возведении его в -ю степень даст нам число, модуль которого равен 
, а аргумент равен 
? Так как возведении комплексного числа в -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в -ю степень, а аргумент умножается на , то, очевидно, комплексное число с модулем, равным 
и аргументом, равным 
, обладает требуемым свойством. Обратим внимание на то, что при изменении аргумента на значение, равное 
, после возведения в -ю степень комплексное число изменяет значение аргумента на 
, т.е. на 
. А это означает, что таким образом измененное комплексное число также является корнем -й степени из заданного числа .
Тем самым мы получим
, (3)
где 
. Формула (3) для извлечения корней из комплексных чисел показывает, что 
является величиной, принимающей различных значений при 
. Заметим, что все эти значения корня лежат на окружности радиуса 
через равные значения аргумента 
.
Пример 4. Найдите 
.
Решение. На рисунке 1.5 отмечены 3 точки, которые являются корнями 3-й степени из числа 8. Эти три точки находятся на окружности радиуса 2 и имеют аргументы 0, 
и 
. Итак, искомыми корнями является действительное число 
и «по настоящему» комплексные числа:
Рис. 1.5. Корни третьей степени из числа 8
, 
.
