Комплексные числа, действия над ними

Алгебраическое уравнение  не имеет решений на множестве действительных чисел. Этот факт подводит нас к необходимости расширения понятия числа.

Определение 1. Комплексными числами называются числа вида , где ,  являются действительными числами, а  - условный символ. При этом введены операции сложения и умножения по следующим правилам.

 Пусть заданы 2 комплексных числа  и , тогда их сумма и произведения определяются формулами:

, .            (1)

Обратите внимание, что определение не только вводит новый объект – множество  комплексных чисел вида . Также введены операции над этими числами – сложение и умножение. По определению, они выполняются по формулам (1). Как запомнить формулы (1) и в чем смыл символа «»? По сути, мы обычным образом раскрываем скобки при проведении арифметических операций и при этом квадрат условного символа  заменяем числом .

Для числа  число  называется действительной частью, а число  - мнимой частью этого комплексного числа. При этом используются обозначения , . Два комплексных числа называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаком. В общем виде парой сопряженных комплексных чисел являются числа  и .

Числа  и  равны тогда о только тогда, когда совпадают их действительные и мнимые части, т.е. выполнены равенства: . Если мнимая часть комплексного числа равна 0, то это число принадлежит множеств действительных чисел   Иными словами, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел, что можно записать в виде .

Про комплексные числа нельзя сказать, что одно из них больше или меньше другого. В этом смысле их нельзя сравнивать. Можно лишь ответить на вопрос, равны или не равны два таких числа.

Комплексное число равно 0 тогда и только тогда, когда равны 0 его действительная и мнимая части. Справедливо равенство  и таким свойством обладает лишь число 0.

Комплексное число равно 1 тогда и только тогда, когда его действительная часть равна 1, а мнимая часть равна 0. Справедливо равенство  и таким свойством обладает лишь число 1.

В определении даются формулы для сложения и умножения комплексных чисел. Это автоматически порождает ряд дополнительных операций над комплексными числами. Под вычитанием понимается действие, обратное сложению. Поэтому для чисел  и  справедлива формула . Умножение комплексного числа  на действительное число  является частным случаем перемножения комплексных чисел, поэтому справедлива формула . То есть при этом и действительная, и мнимая части комплексного числа  умножаются на действительное число . Под делением понимается действие, обратное умножению. Заметим, что для чисел  и  при  справедливо соотношение . После раскрытия скобок получим формулу . Это значит, что при делении комплексных чисел разумно числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю.

Пример 1. Даны комплексные числа , . Вычислите:
а) , б) , в) , г) , д) , е)  ж) .

Решение. В первых 5 пунктах действуем по определению:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

Переходим к последним двум пунктам. Еще раз ответим на вопрос, как поделить 2 комплексных числа? При вычислении в п.. е)  можно рассмотреть уравнение  или . Раскрывая скобки, приравнивая действительные и мнимые части, мы получим однозначно разрешимую систему для определения неизвестных   и , что решает задачу.

На самом деле, есть более простой способ деления комплексных чисел. Заметим, что если комплексное число умножить на сопряженное, то получится действительное число, т.е. . Отсюда . Также .