Алгебраическое уравнение 
не имеет решений на множестве действительных чисел. Этот факт подводит нас к необходимости расширения понятия числа.
Определение 1. Комплексными числами называются числа вида 
, где 
, 
являются действительными числами, а 
- условный символ. При этом введены операции сложения и умножения по следующим правилам.
Пусть заданы 2 комплексных числа 
и 
, тогда их сумма и произведения определяются формулами:
, 
. (1)
Обратите внимание, что определение не только вводит новый объект – множество 
комплексных чисел вида . Также введены операции над этими числами – сложение и умножение. По определению, они выполняются по формулам (1). Как запомнить формулы (1) и в чем смыл символа «»? По сути, мы обычным образом раскрываем скобки при проведении арифметических операций и при этом квадрат условного символа заменяем числом 
.
Для числа число называется действительной частью, а число - мнимой частью этого комплексного числа. При этом используются обозначения 
, 
. Два комплексных числа называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаком. В общем виде парой сопряженных комплексных чисел являются числа и 
.
Числа и равны тогда о только тогда, когда совпадают их действительные и мнимые части, т.е. выполнены равенства: 
. Если мнимая часть комплексного числа равна 0, то это число принадлежит множеств действительных чисел 
Иными словами, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел, что можно записать в виде 
.
Про комплексные числа нельзя сказать, что одно из них больше или меньше другого. В этом смысле их нельзя сравнивать. Можно лишь ответить на вопрос, равны или не равны два таких числа.
Комплексное число равно 0 тогда и только тогда, когда равны 0 его действительная и мнимая части. Справедливо равенство 
и таким свойством обладает лишь число 0.
Комплексное число равно 1 тогда и только тогда, когда его действительная часть равна 1, а мнимая часть равна 0. Справедливо равенство 
и таким свойством обладает лишь число 1.
В определении даются формулы для сложения и умножения комплексных чисел. Это автоматически порождает ряд дополнительных операций над комплексными числами. Под вычитанием понимается действие, обратное сложению. Поэтому для чисел и справедлива формула 
. Умножение комплексного числа на действительное число 
является частным случаем перемножения комплексных чисел, поэтому справедлива формула 
. То есть при этом и действительная, и мнимая части комплексного числа умножаются на действительное число . Под делением понимается действие, обратное умножению. Заметим, что для чисел и при 
справедливо соотношение 
. После раскрытия скобок получим формулу 
. Это значит, что при делении комплексных чисел разумно числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю.
Пример 1. Даны комплексные числа 
, 
. Вычислите:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
, е) 
ж) 
.
Решение. В первых 5 пунктах действуем по определению:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
; д) 
.
Переходим к последним двум пунктам. Еще раз ответим на вопрос, как поделить 2 комплексных числа? При вычислении в п.. е) 
можно рассмотреть уравнение 
или 
. Раскрывая скобки, приравнивая действительные и мнимые части, мы получим однозначно разрешимую систему для определения неизвестных 
и 
, что решает задачу.
На самом деле, есть более простой способ деления комплексных чисел. Заметим, что если комплексное число умножить на сопряженное, то получится действительное число, т.е. 
. Отсюда 
. Также 
.
