Устойчивость сжатых стержней
Формула Эйлера для определения критической силы
. (8.1)
Здесь μ – коэффициент приведенной длины, зависит от закрепления концов стержня.
Для стержня с шарнирно закрепленными концами μ=1.
Для стержня с заделанными концами μ=0,5.
Для стержня с одним заделанным и другим свободным концом μ=2.
Для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом μ=0,7.
Критическое сжимающее напряжение
, (8.2)
где 
– гибкость стержня.
Задачи
8.1. Определить наименьшую гибкость стержня, при которой для вычисления критического усилия еще применима формула Эйлера, если стержень выполнен:
а) из стали с пределом пропорциональности σп=2200 кг / см 2 и модулем нормальной упругости Е =1,9·106 кг / см 2;
б) из стали с σп=820 кг / см 2 и Е =1,85·106 кг / см 2;
в) из никелевой стали с σп=4900 кг / см 2 и Е =2,15·106 кг / см 2;
г) из дюралюминия с σп=1770 кг / см 2 и Е =0,7·106 кг / см 2;
д) из сосны с σп=200 кг / см 2 и Е =1,1·105 кг / см 2.
Ответ: а) 92,5; б) 149; в) 65,8; г) 62,5; д) 73,7.
8.2. Определить величину критического усилия и критического напряжения для стойки прямоугольного поперечного сечения 
см длиной 7 м из дерева с модулем упругости Е =0,9·105 кг / см 2. В плоскости наименьшей жесткости оба конца стойки защемлены, а в перпендикулярной – оба конца стойки шарнирно оперты. 
Ответ: 14500 кг (145 кН); 60,4 кг / см 2 (6,04·106 Па).
8.3. Пользуясь формулой Эйлера, найти отношение величин критических усилий для работающих в одинаковых условиях стойки круглого поперечного сечения и трубчатой стойки с равновеликой площадью при отношении dнар: dвн =1,25.
Ответ: Fк: Fтр =0,22.
8.4. Прямой стальной стержень длиной 1 м, шириной 2,5 см и толщиной 2,5 мм изогнут в виде лука с упругим прогибом посредине, равным 5 см. Его концы связаны тетивой. Модуль упругости материала стержня Е=2·106 кг / см 2. Определить усилие в тетиве и наибольшее напряжение в стержне.
Ответ: F =6,45 кг (64,5 Н); σ=1250 кг / см 2 (125·106 Па) (сжатие при прогибе 5 см).
8.5. Определить наибольшую допускаемую величину сжимающей нагрузки на колонну из двух швеллеров №30, расставленных так, что центральные моменты инерции сечения относительно обеих главных осей одинаковы. Допускаемое напряжение [σ]=1600 кг / см 2. Длина колонны 6 м; один конец ее защемлен, второй свободен от закрепления. Определить наименьшую необходимую величину расстояния а.
Ответ: 77600 кг (776 кН); 18,3 см (0,183 м).
| 
|
8.6. Определить диаметр подкоса АВ кронштейна из дерева с допускаемым напряжением [σ]=110 кг / см 2. Оба конца подкоса считать шарнирно опертыми. Равномерно распределенная по балке CD нагрузка q =5000 кг / м.
Ответ: 18 см (0,18 м).
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ
Учет сил инерции
9.1. Стальная проволока ОА, равномерно вращающаяся вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке О, несет на конце А груз 2 кг. При каком числе оборотов в минуту произойдет разрушение проволоки, если предел прочности стали равен 8000 кг / см 2?
Ответ: 375 об / мин (39,3 рад).
| 
|
9.2. Груз 300 кг поднимается с постоянным ускорением 0,5 м / с 2 на тросе диаметром 1 см, навернутом на шкив диаметром 40 см. Найти наибольшие расчетные напряжения в тросе и в вале ВС, имеющем диаметр 5 см. Массой троса, шкива и вала пренебречь.
Ответ: σ (троса) =401 кг / см 2 (40,1·106 Па);
σ (вала) =727 кг / см 2 (72,7·106 Па).
Колебания, резонанс
Уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы
, (9.1)
где 
– частота собственных колебаний.
Период собственных колебаний
. (9.2)
Уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы
. (9.3)
Здесь 
– внешняя сила, изменяющаяся по периодическому закону с частотой φ. Амплитуда вынужденных колебаний
(9.4)
– произведение статического прогиба от силы S и динамического коэффициента.
. (9.5)
При учете сил сопротивления, пропорциональных коэффициенту α, формула для определения динамического коэффициента имеет вид
. (9.6)
Задачи
9.3. Определить период Т и частоту ω собственных продольных колебаний стальной круглой стойки диаметром 5 см и длиной 80 см, нагруженной продольной сжимающей силой 10000 кг. Задачу решить без и с учетом массы стойки.
Ответ: Т =0,02863 сек, ω =219,4 1 / сек;
Т =0,02864 сек, ω =219,3 1 / сек.
9.4. К винтовой пружине при помощи крюка подвешены два одинаковых груза. Оба груза вместе растягивают пружину на 2,5 см. Один из грузов внезапно снят. Определить период возникших продольных колебаний и наибольшее значение скорости и ускорения колеблющегося груза.
Ответ: 0,224 сек; 35 см / сек (0,35 м/с); 981 см / сек 2 (9,81 м/с).
9.5. Электромотор весом 200 кг, укрепленный на конце двух консольных двутавровых балок № 14, делает 600 об / мин. При работе двигателя возникает центробежная сила инерции, равная 40 кг. Определить наибольшее нормальное напряжение в балках при длине их, равной 2 м. Определить длину балок, при которой имеет место явление резонанса, и соответствующее наибольшее нормальное напряжение в балках. При расчетах учесть силы сопротивления, пропорциональные скорости колебательного движения. Коэффициент затухания колебаний n =2 (1/ сек). Массой балки пренебречь. Е =2·106 кг / см 2.
Ответ: 810 кг / см 2 (81·106 Па); 204,3 см (2,043 м); 1036 кг / см 2 (103,6·106 Па).
