Рост с ограничением или J

Уравнение, описывающее рост популяции по J-образной кривой, имеет следующий вид

(4.11)

его решение:

(4.12)

Где: К – максимально возможная численность популяции, т.е. емкость среды обитания.

Для того чтобы данное интегральное выражение можно было решить методом наименьших квадратов, его необходимо линеаризовать. Для этого введем следующие новые обозначения:

Подставив последние выражения в (4.12) можно получить следующее линейное рекуррентное соотношение между соседними значениями численности популяции, отстоящими друг от друга во времени на величину dt:

(4.13)

где и - численности популяции в два смежных, отстоящих друг от друга на величину времени dt момента времени.

Для определения констант А и В применим к полученному линейному выражению метод наименьших квадратов, описанный выше:

(4.14)

Таблица 4.2.

Форма таблицы для решения системы уравненийJ-образного роста (на примере первого варианта)

n₁	n₂	n₁∙n₂	n₁²
302	352
352	396
396	435
435	471
471	502
502	528
528	543
543	552
∑ n₁	∑ n₂	∑ (n₁∙n₂)	∑ n₁²

Решая систему (4.14) получаем значения А и В. После чего не составляет труда определить параметры J - образной кривой:

(4.15)

Величина dt=10 для всех вариантов.

Таким образом, биотический потенциал и емкость среды обитания для популяции растущей по типу роста с ограничением могут быть определены по данным о ее численности в смежные равноотстоящие друг от друга моменты времени. График, описывающий рост с ограничением имеет следующий вид (рис. 4.4):

n₀

Рис.4.4. Рост с ограничением

4. Логистический или S - образный рост. В этом случае уравнение, описывающее рост популяции имеет вид:

	(4.16)
	(4.17)

из последнего выражения находим аналогичное (4.13) линейное рекуррентное соотношение, но для величин обратных численностям популяции в смежные моменты времени: для этого выражение (4.17) необходимо видоизменить:

введем новые обозначения:

тогда:

(4.18)

(4.19)

(4.20)

Для решения системы уравнений 4.20 удобно использовать таблицу 4.3

Таблица 4.3.

Форма таблицы для решения системы уравнений (4.20) логистического роста. (на примере первого варианта)

n₁	n₂
83	134
134	190
190	247
247	302
302	352
352	396
396	435
435	471
471	502
502	528
528	543
543	552
		∑

С помощью выражения (4.20) по данным о численности популяции в смежные равноотстоящие моменты времени могут быть определены ее биотический потенциал и емкость среды обитания. Принцип решения системы уравнений (4.20) аналогичен рассмотренному выше для гиперболического типа роста.

4.21

Величина dt=10 для всех вариантов.

График, описывающий логистический рост, имеет следующий вид (рис. 4.5):

M UXalNB0OEW4bOVXqRVqsOS5U2NKmouLv8G81fO9Ovz+Z2pfvdtYOblSS7avU+ulxXL+BCDSGe/jW 3hoNWZrB9Uw8AnJ5AQAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQDb4fbL7gAAAIUBAAATAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAFr0LFu/AAAAFQEAAAsA AAAAAAAAAAAAAAAAHwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAHvcLLrEAAAA3AAAAA8A AAAAAAAAAAAAAAAABwIAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAAAwADALcAAAD4AgAAAAA= " filled="f" stroked="f">

n₀

III

Рис.4.5. Логистический рост популяций

Как видно из приводимого графика, на S образной кривой выделяют три участка:

I - начальная стадия. Отличается низкой скоростью роста численности популяции. Это обусловлено низкой плотностью популяции, вследствие чего особи противоположного пола встречаются достаточно редко.

II - стадия максимального роста. Высокая скорость увеличения численности популяции связана с тем, что плотность популяции уже достаточно велика, но пищевые ресурсы еще не являются сдерживающим фактором, т.е. емкость среды еще не достигнута.

III - стадия замедления. Отличается замедлением скорости роста числа особей в популяции. Это связано с тем, что ресурсов среды обитания становится недостаточно для обеспечения всех особей.

Оценка параметров логистического закона в этом случае может быть осуществлена с помощью соотношения (4.20) или другим специальным методом.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.

1. По данным о численности мирового народонаселения, приведенным в табл.4.4 определить характеристики гиперболической кривой, описывающей этот рост.

Таблица 4.4

ЧИСЛЕННОСТЬ МИРОВОГО НАРОДОНАСЕЛЕНИЯ

Год	0	1000	1200	1400	1500	1600	1700	1800	1850	1900
Млн. чел	200	300	350	380	450	480	550	880	1200	1600

Год	1910	1920	1930	1940	1950	1960	1970	1980	1990	2000
Млн. чел	1700	1840	2000	2260	2500	3000	3630	4380	5500	6700

2. Определить массу зерна, которую необходимо положить на последнюю клетку шахматной доски, если, начиная с одного зернышка на первой клетке, на каждую следующую кладется в два раза большее число зерен. Вес одного зерна принять равным 0,1 г.

3. Определить время, за которое потомство одной бактерии, размножающейся делением и весом 10^-12 г. достигнет веса Земного шара - 10²⁸ г., если одно деление происходит с интервалом в 20 минут.

4. Экспоненциально растущая популяция эксплуатируется в стационарном режиме, необходимо увеличить снимаемый с нее урожай в «к» раз за время «t». Определить, при каких «t» возможно увеличение урожая в «к» раз.

5. Популяция эксплуатируется в режиме на уничтожение.Определить время, за которое численность популяции сократится до 10% от первоначальной, см. табл.4.5.

Таблица 4.5

Исходные данные для выполнения контрольного задания по вариантам

Варианты	n₀	r	k
1	1000	1.0	1.3
2	860	0.8	1.0
3	10000	1.2	5.6
4	360	0.3	1.2
5	870	0.6	1.5
6	10840	1.3	2.6
7	640	0.1	0.3
8	8760	0.7	1.6
9	105	0.08	0.1
10	3850	0.7	1.4

6. Площадь лесов планеты составляет приблизительно 3.80 млрд. га. С учетом процессов искусственного и естественного возобновления скорость сведения лесов составляет 26 га/мин. Определить время, за которое площадь лесов сократится до 10% от первоначальной, предполагая, что их сведение происходит по экспоненте.

7. По данным таблиц хода роста древостоев основных лесообразующих пород начиная с возраста 60 лет и старше определить их популяционные параметры приняв в качестве закона роста J - образную кривую. cм.табл.4.6.

8. По данным таблиц хода роста основных лесообразующих пород определить их популяционные параметры приняв в качестве закона роста модифицированный логистический. Использовать данные о ходе роста по запасу. cм.табл.4.6.

Таблица 4.6.

ХОД РОСТА ОСНОВНЫХ ЛЕСООБРАЗУЮЩИХ ПОРОД, м³/га.

Возраст,	Номера вариантов и данные для определения популяционных параметров
Лет	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
20	83	60	46	36	24	73	52	38	26	13
30	134	98	78	61	42	127	93	72	53	32
40	190	141	111	90	62	185	138	110	82	55
50	247	187	150	120	83	246	187	148	115	79
60	302	234	188	149	101	307	237	188	144	100
70	352	277	224	174	117	362	283	226	167	117
80	396	318	257	194	129	411	326	260	189	132
90	435	354	287	211	139	457	367	289	207	144
100	471	385	311	222	146	501	405	314	222	152
110	502	411	330	233		542	441	335	233	155
120	528	431	347	238		577	472	354	239	156
130	543	445	360	240		605	495	367	242
140	552	455	367			614	514	376

Занятие 5.

Рост с ограничением или J - образный.