Основные модели роста численности популяций.

Типичным объектом природопользования являются популяции. Важнейшим параметром популяции является скорость увеличения численности. Скорость роста популяции является важной характеристикой, определяющей допустимую интенсивность ее эксплуатации, выражающуюся в свою очередь в предельном допустимом количестве изымаемых за единицу времени особей. Следовательно, скорость роста популяции представляет большой интерес в природопользовании.

Популяцией называется совокупность особей одного биологического вида длительное время проживающих на данной территории и взаимодействующих между собой. Одним из наиболее важных с точки зрения интенсивности эксплуатации параметров популяции является ее численность. Численность популяций подвержена изменениям. Она может увеличиваться в благоприятных условиях и снижаться в экстремальных.

Рассмотрим характер увеличения численности у молодой растущей популяции. Увеличение численности такой популяции можно описывать различными математическими функциями. В зависимости от того, какая из функций лучше всего описывает характер изменения числа особей в популяции, типу роста присваивают название. Название, как правило, соответствует названию этой функции.

Рассмотрим основные, наиболее часто используемые для описания роста популяций закономерности, каковыми являются гиперболическая, экспоненциальная, J - образная и логистическая (S - образная).

 

Гиперболический рост.

Графически изменение численности популяции по гиперболе описывается графиком, изображенным на рис. 4.1.

n

Время, t.

n0

t*

Рис. 4.1. График гиперболического роста популяции.

Динамика роста популяции по гиперболе описывается следующим уравнением:

(4.1)

 

 его решение имеет вид:

 

 

 

 

 

 

(4.2)

 

где n - численность популяции, t* - момент времени, при котором численность популяции становится равной бесконечно большой величине, а – константа.

Гиперболический рост описывает взрывоподобное увеличение численности народонаселения. Параметры гиперболической кривой и особенно интересная величина t* могут быть определены с помощью линейного соотношения (4.2) по данным о ходе роста численности популяции методом наименьших квадратов или графически. Метод наименьших квадратов заключается в нахождении таких коэффициентов уравнения, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений числа особей от экспериментальных данных была бы минимальной.

Для применения метода наименьших квадратов необходимо вначале линеаризовать имеющуюся функцию. Для этого введем новые обозначения:

 

Пусть

 

Тогда исходная функция примет следующий вид:

 

Введем функцию

Это условие выполняется в тех точках, где частные производные этой функции по искомым коэффициентам обращаются в ноль:

 

 

(4.3)

 

где N – число замеров численности особей в популяции. Решая полученную систему уравнений любым доступным методом, можно вычислить коэффициенты "а" и "b"

При решении системы уравнений полезно составить следующую таблицу:

Таблица 4.1.

Форма таблицы для решения системы уравнений

ni	ti	ni'=1/ni	ti2	ni'∙ti
200	0	5*10-3	0	0
300	1000	3,3*10-3	106	3,3
350	1200	2,9*10-3	1,44*106	3,43
6700	2000	1,5*10-4	4*106	0,3
	∑ti=	∑ni'=	∑(ti2)=	∑(ni'∙ti)=

 

Экспоненциальный рост.

Уравнение, описывающее изменение численности популяции имеет следующий вид:

(4.4)

 

его решение имеет следующий вид:

(4.5)

Здесь: r – биотический потенциал популяции, n₀ - начальная численность. Биотический потенциал - величина, характеризующая, на какую долю от общего количества изменяется численность популяции в единицу времени.

Вид кривой, описывающий экспоненциальный рост, представлен на рис. 4.2.

n

Рис. 4.2. Рост популяций по экспоненте

Время, t.

n0

Для экспоненциально растущей популяции важной характеристикой является время удвоения ее численности – T.

 

при

 

t = Т

 

(4.6)

 

Подставляя это выражение в (4.5) и логарифмируя получаем

 

(4.7)

 

откуда получаем выражение (4.8)

 

                                                                 (4.8)

 

с учетом (4.8) выражение (4.5) принимает следующий вид (4.9):

 

(4.9)

 

где t/T – число удвоений численности популяции, произошедшее за время t.

Параметры экспоненциальной кривой могут быть определены с помощью соотношения (4.5), представленного в логарифмической форме, графически или с помощью метода наименьших квадратов.

Многие популяции, растущие по экспоненте, представляют хозяйственную ценность и могут активно эксплуатироваться. Процесс эксплуатации экспоненциально растущей популяции описывается с помощью коэффициента промысловой смертности – k, характеризующего интенсивность изъятия особей из популяции.

 

	(4.10)

В зависимости от соотношения биотического потенциала и коэффициента промысловой смертности различают три основных режима эксплуатации популяций: щадящий, стационарный и на уничтожение

t

n

n0

Щадящий режим

r>k

t

n

n0

Стационарный режим

r=k

t

n

D lHUmTY1NhNtSjpT6kBYLjgs5VrTJKb0eblbD8fNyPk3UV7a171XjWiXZzqTWvW67noMI1Ib/8Ku9 NxomszH8nYlHQC6fAAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQDb4fbL7gAAAIUBAAATAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAFr0LFu/AAAAFQEAAAsA AAAAAAAAAAAAAAAAHwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAJnmt5TEAAAA3AAAAA8A AAAAAAAAAAAAAAAABwIAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAAAwADALcAAAD4AgAAAAA= " filled="f" stroked="f">

n0

Режим на уничтожение

r<k

Рис.4.3. Режимы эксплуатации экспоненциально растущей популяции