Пусть функции 
и 
удовлетворяют следующим условиям:
1. 
и 
определены на сегменте 
;
2. 
и 
дифференцируемы на интервале 
и 
Тогда существует точка 
, что на интервале 
имеет место соотношение
(3.45)
где 
Доказательство. Составим функцию 
, и заметим, что она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. На самом деле имеем:
1. 
определена на 
;
2. дифференцируема на 
3. 
Тогда по теореме Ролля существует точка , что
(3.46)
Отметим, что если 
то из (3.46) получим формулу Лагранжа (3.43).
При исследовании поведения сложной функции вокруг точки 
имеет смысл, если это возможно, представить эту функцию в виде суммы степенных функций с определенными коэффициентами. Особенно это актуально, когда в рассматриваемой задаче существует малый параметр. Известные математики Тейлор и Маклорен показали, что такая возможность есть.
Если функция 
дифференцируема 
раз в некоторой окрестности точки 
, то она может быть представлена в виде суммы многочлена степени 
по формуле Тейлора и остаточного члена 
, например, в форме Лагранжа:
(3.47)
где 
При 
из формулы (3.47) получим формулу Маклорена
(3.48)
где 
Пример 3.49. Разложить по формуле Маклорена (3.48) функцию 
Решение. Имеем
(3.49)
Подставляя (3.49) в (3.48), получим
(3.50)
Ответ:
Аналогично можно получить разложения по формуле Маклорена для следующих функций:
1. 
(3.51)
2. 
(3.52)
(3.53)
3. 
(3.54)
Пример 3.50. Разложить по формуле Тейлора (3.47) функцию 
вокруг точки 
Решение. Имеем
(3.55)
Подставляя (3.55) в (3.47), получим
(3.56)
где остаточный член 
в форме Пеано выражается формулой 
Последнее означает, что остаточный член более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой 
при 
Ответ: 
Пример 3.51. Дана кривая 
На дуге 
этой кривой найти точку 
в которой касательная параллельна хорде 
если 
и 
Решение. Функция 
дифференцируема при всех значениях 
По теореме Лагранжа между 
и 
существует точка 
в которой имеет место равенство
(3.57)
Подставляя в (3.57) соответствующие данные, получим
Итак, точка 
имеет координаты 
Ответ: 
Задачи с ответами.
3.4.1. Вычислить предел
.
Ответ: 
3.4.2. Вычислить предел
.
Ответ: 
3.4.3. Вычислить предел
.
Ответ: 
3.4.4. Вычислить предел
.
Ответ: 
3.4.5. Вычислить предел
.
Ответ:
3.4.6. Вычислить предел
.
Ответ: 
3.4.7. Исследовать функцию на непрерывность
Ответ: Разрыв первого родапри 
.
3.4.8. Найти производную по 
второго порядка
Ответ: 
3.4.9. Найти производную по пятого порядка, применяя формулу Лейбница
Ответ: 
3.4.10. Вычислить предел, пользуясь правилами Лопиталя
Ответ: 
3.4.11.Разложить функцию 
по степеням 
, пользуясь формулой Тейлора.
Ответ: 
3.4.12. Найти экстремумы (maxи min) данной функции
Ответ: 
3.4.13. Найти асимптоты данной линии
Ответ: 
3.4.14. Функция полных издержек 
в зависимости от объема выпускаемой продукции 
задана соотношением: 
При каком объеме производства предельные и средние издержки совпадают?
Ответ: 
3.4.15. Завод производит 
единиц продукции в месяц, при этом издержки производства определяются формулой 
а цена – 
При каком объеме продукции прибыль будет максимальной? Какова при этом цена продукции?
Ответ: 