1. Общие уравнения прямой в пространстве.
Прямую 
в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей 
и 
(рис. 2.23). То есть, общие уравнения прямой в пространстве можно представить в виде
(2.67)
При решении многих задач удобно пользоваться так называемыми каноническими уравнениями прямой в пространстве. В эти уравнения входят такие величины, как координаты направляющего вектора 
(параллельный вектор прямой в пространстве) и координаты точки 
, принадлежащей прямой 
Если на прямой 
взять точку с текущими координатами (точка 
, то очевидно, что векторы и 
(рис. 2.23) коллинеарны, то есть (см. § 2.2)
(2.68)
(2.68) и есть канонические уравнения прямой 
в пространстве. Заметим, что, например, если 
то имеем
Метод приведения общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду покажем на примере экономического характера.
Пример 2.18. Предприятие выпускает трех видов продукции в количестве 
единиц. При применении первой технологии эти продукции приносят соответственно прибыль 20, 50, 30 руб. с единицы. При применении второй технологии эти продукции приносят соответственно прибыль 15, 40, 60 руб. с единицы. Определить производственные программы предприятия, дающие при разных технологиях одинаковую прибыль, равную 300 руб.
Решение. Из условий задачи имеем
(2.69)
Как видно из (2.69), задача экономического характера математически сводится к общим уравнениям прямой в пространстве. Приведем эти уравнения к каноническому виду. Так как 
то 
можно дать произвольное значение, например, 
Тогда из (2.69) получим
То естьнашли точку 
которая принадлежит прямой в пространстве. Далее заметим, что направляющий вектор 
равен
Тогда согласно (2.68) получим
Ответ: 
должны удовлетворять уравнениям 
Отметим, что из канонических уравнений прямой в пространстве (2.68) можно получить параметрические уравнения прямой в пространстве. Для этого в канонические уравнения включим параметр 
следующим образом
или
(2.70)
Уравнения (2.70) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Пример 2.19. Составить уравнение плоскости 
, проходящей через точку 
и через прямую 
: 
Решение. Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид
(2.71)
где 
пока неизвестные числа. Основываясь на условия задачи, для неизвестных 
выраженные через 
получим следующие три уравнения.
1. Плоскость проходит через точку 
. То есть имеет место уравнение
2. 
то есть 
Последнее означает, что имеем уравнение
3. 
, то есть 
Итак, получили следующие три линейных уравнения относительно неизвестных 
Решая систему по правилам Крамера, получим:
(2.72)
Подставляя (2.72) в (2.71) и поделив обе части уравнения на 
получим
Ответ: 
