Различные виды уравнений прямой в пространстве.

1. Общие уравнения прямой в пространстве.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и (рис. 2.23). То есть, общие уравнения прямой в пространстве можно представить в виде

(2.67)

При решении многих задач удобно пользоваться так называемыми каноническими уравнениями прямой в пространстве. В эти уравнения входят такие величины, как координаты направляющего вектора (параллельный вектор прямой в пространстве) и координаты точки , принадлежащей прямой Если на прямой взять точку с текущими координатами (точка , то очевидно, что векторы и (рис. 2.23) коллинеарны, то есть (см. § 2.2)

(2.68)

(2.68) и есть канонические уравнения прямой в пространстве. Заметим, что, например, если то имеем

Метод приведения общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду покажем на примере экономического характера.

Пример 2.18. Предприятие выпускает трех видов продукции в количестве единиц. При применении первой технологии эти продукции приносят соответственно прибыль 20, 50, 30 руб. с единицы. При применении второй технологии эти продукции приносят соответственно прибыль 15, 40, 60 руб. с единицы. Определить производственные программы предприятия, дающие при разных технологиях одинаковую прибыль, равную 300 руб.

Решение. Из условий задачи имеем

(2.69)

Как видно из (2.69), задача экономического характера математически сводится к общим уравнениям прямой в пространстве. Приведем эти уравнения к каноническому виду. Так как то можно дать произвольное значение, например, Тогда из (2.69) получим

То естьнашли точку которая принадлежит прямой в пространстве. Далее заметим, что направляющий вектор равен

Тогда согласно (2.68) получим

Ответ: должны удовлетворять уравнениям

Отметим, что из канонических уравнений прямой в пространстве (2.68) можно получить параметрические уравнения прямой в пространстве. Для этого в канонические уравнения включим параметр следующим образом