Различные виды уравнения прямой на плоскости.

1. Любая линейная связь между переменными и  вида

(2.34)

где действительные числа одновременно не равны нулю, описывает прямую на плоскости. (2.34) есть общий вид уравнения прямой на плоскости (рис. 2.14, прямая ).

2. Из (2.34), считая  найдем

(2.35) 

Обозначая

(2.36)  

из (2.35) получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

(2.37)

В частном случае, когда уравнение (2.37) принимает вид

(2.38)

Отсюда имеем

(2.39)

где  есть угол между прямой и положительным направлением оси (рис. 2.14, прямая ).

3. Преобразуя общий вид уравнения прямой (2.34) к виду

(2.40)

 

и обозначая и получим

(2.41)   

(2.41) есть уравнение прямой на плоскости в отрезках. Числа и показывают отрезки, отсекающие прямой на осях и . Действительно, если , то из (2.41) следует, что и если , то из (2.41) следует, что (рис. 2.15, прямая ).

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид

(2.42)    

где и пока неизвестные величины. Для определения этих неизвестных воспользуемся тем, что точки  и  лежат на прямой, то есть координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой (2.42) (рис. 2.15, прямая ).

Имеем

, ,    (2.43)

Подставляя найденное значение во второе уравнение системы (2.43) и производя некоторые преобразования,получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, в виде

                                                                                (2.44)

5. Нормированное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой.

При решении задачи нахождения расстояния заданной точки от заданной прямой мы должны пользоваться уравнением прямой в нормированном виде.

Пусть дана прямая . Нормаль этой прямой обозначим через , а единичный вектор этой нормали обозначим через где есть угол между нормальным вектором и осью Возьмем на прямой точку с текущими координатами и , а вне прямой возьмем точку  с заданными координатами и (рис. 2.16). Очевидно, что и Точку пересечения нормали с прямой обозначим через , длину отрезка обозначим через и заметим, что  Рассмотрим скалярное произведение векторов и . Имеем с одной стороны a с другой стороны  То есть

                                                              (2.45)

(2.45) представляет нормированное уравнение прямой на плоскости. Из рисунка 2.16 видно, что или

Величина называется отклонением точки от прямой причем , если точка и начало координат находятся по разные стороны прямой и если точка и начало координат находятся по одну сторону прямой (если то точка принадлежит прямой ). Расстояние точки  от прямой

Как привести общее уравнение прямой (2.34) на плоскости к нормированному виду (2.45)? Для этого нужно обе части уравнения (2.34) умножить на нормирующий множитель , то есть

 

                                                                       (2.46)

Сравнивая (2.46) с (2.45), получим

                            (2.47)

При этом, как видно из (2.47), если , то а если то

Пример 2.11. Найти угол между прямыми  и , уравнения которых имеют вид: (рис. 2.17).

Решение. Из рисунка (2.17) следует, что

(2.48)

Ответ:

Из (2.48) следует, что если прямые перпендикулярны , то удовлетворяется условие

Пример 2.12. Даны координаты вершины  треугольника и уравнения двух высот: Найти уравнения сторон треугольника  (рис. 2.18).

Решение. Решая уравнения высот и относительно , получим

                                        (2.49)

Отсюда угловые коэффициенты  и  выражаются формулами:

                                                                                  (2.50)

Пусть уравнение стороны имеет вид

                                                                                        (2.51)

Так как точка принадлежит прямой , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой , то есть

                                                                                   (2.52)

С другой стороны, так как то (см. пример 2.11)

                                                                   (2.53)

Итак, с учетом (2.51)-(2.53) имеем

                                                                                  (2.54)

Отсюда

                                                                                        (2.55)

Аналогично для стороны имеем

        (2.56)

Для составления уравнения стороны найдем координаты точек  и  Решая системы уравнений

                                                    (2.57)

найдем, что  то есть  и Теперь согласно (2.44) получим или

Ответ:

Пример 2.13. Найти расстояние точки  от прямой уравнение которой имеет вид (рис. 2.19).

Решение. Для приведения уравнения прямой  к нормированному виду обе части умножим на нормирующий множитель  Получим нормированное уравнение прямой в виде

Тогда для отклонения и расстояния точки от прямой согласно пункту 2.3.2 получим следующие выражения:

Ответ:

Пример 2.14. (задача экономического характера) Функция издержек как функция от количества изготовленного товара  в штуках, линейна, то есть  Известно, что при штук   рублей, а при штук  рублей. Найти издержки в рублях при изготовлении штук товара.

Решение. Согласно условий задачи имеем

Тогда

                                                        (2.58)

Подставляя в (2.58) штук, получим

Ответ: 525 рублей.