Таким образом, электрическая емкость плоского конденсатора

 

Пример 2. Сферический конденсатор. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических металлических обкладок 1 и 2 сферической формы, радиусы которых соответственно равны R ₁ и R ₂ > R ₁. Пусть + q -заряд первой обкладки, а – q -заряд второй обкладки. Напряженность поля в конденсаторе направлена радиально: E = E_r, причем

 

 

где e - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей конденсатор. Так как

 

 

то разность потенциалов обкладок

 

 

Электрическая емкость сферического конденсатора

 

 

Пример 3. Цилиндрический конденсатор. Цилиндрический конденсатор состоит из двух тонкостенных металлических цилиндров высотой l и радиусами R ₁ и R ₂ > R ₁, вставленных друг в друга. Пусть заряд внутренней обкладки радиусом R ₁ + q, а внешней, радиусом R ₂   – q. Если l >> (R ₁ и R ₂), то, пренебрегая искажениями поля вблизи краев конденсатора, можно приближенно считать, что поле конденсатора такое же, как поле двух цилиндров бесконечной длины, заряженных с линейными плотностями зарядов t = q / l и - t. Внутри конденсатора поле создается только внутренней обкладкой. Так как s = t /(2 p R ₁)= q /(2 p R ₁ l), следует что напряженность поля в диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью e, заполняющем поле между обкладками конденсатора (R ₁ £ r £ R ₂), равна E_r = q /(2 p ee ₀ lr). (смотрите вывод в лабораторной работе № 1)

Так как

 

 

то разность потенциалов обкладок конденсатора

 

 

Электрическая емкость цилиндрического конденсатора

 

 

Эта формула выражает, в частности, емкость кабеля, который состоит из металлического провода, окруженного слоем изолятора и металлической броней.

Если напряжение на конденсаторе сделать слишком большим, то конденсатор «пробивается», т. е. между его обкладками возникает искра (внутри диэлектрика или по его поверхности) и конденсатор портится вследствие нарушения изоляции. Поэтому каждый конденсатор характеризуется не только своей емкостью, но еще и максимальным рабочим напряжением. Для того чтобы, располагая определенными конденсаторами, осуществить желаемую емкость при нужном рабочем напряжении, конденсаторы соединяют в батареи.

 

Рис 2.1

Соединение конденсаторов

 

На 2.1, а показано параллельное соединение конденсаторов. В этом случае общим для всех конденсаторов является напряжение U, и мы имеем

 

q ₁ = C ₁ U, q ₂ = C ₂ U,...

Суммарный заряд, находящийся на батарее, равен

 

Q = å q_i = U å C_i,

и поэтому емкость батареи

 

C = q / U = å C_i.                                                       (2.2)

Емкость батареи конденсаторов, соединенных параллельно, равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Так как в этом случае напряжение на каждом конденсаторе равно напряжению на батарее, то и допустимое рабочее напряжение батареи будет таким же, как и у одного конденсатора.

На рис. 2.1, б изображено последовательное соединение конденсаторов. В этом случае одинаков для всех конденсаторов заряд q,равный полному заряду батареи, и мы можем написать

 

U ₁ = q / C ₁, U ₂ = q / C ₂.

Напряжение же батареи будет равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах, т. е.

.

Поэтому для емкости С всей батареи, находим

 

 .                                           (2.3)

При последовательном соединение конденсаторов суммируются обратные значения емкостей. В этом случае напряжение на каждом конденсаторе будет меньше напряжения на батарее, и поэтому допустимое значение напряжения больше, чем у одного конденсатора.

На рис. 2.1, в показано смешанное соединение конденсаторов. Емкость такой батареи легко определить, пользуясь формулами (2.2) и (2.3).

При помощи гальванометра можно измерить не только силу тока, но и заряд, находящийся на каком-либо конденсаторе, что используется в данной работе. Рассмотрим, магнитоэлектрический гальванометр и будем считать, что трение при движении рамки настолько мало, что им можно пренебречь. Рамка является механической колебательной системой. Она имеет определенный момент инерции I и на нее действует сила упругости подвеса. Момент сил упругости подвеса М_п можно считать пропорциональным углу поворота рамки:

 

M_n = - f a,

где f  зависит от устройств подвеса или спиральных пружин. Поэтому, будучи выведена из положения равновесия, рамка совершает механические крутильные колебания с периодом

 

.

 

Положим теперь, что мы замкнули на гальванометр какой-нибудь заряженный конденсатор. Конденсатор начнет разряжаться и в гальванометре возникнет кратковременный ток (импульс тока). Будем считать, что время импульса t мало по сравнению с периодом колебаний рамки: t<<T (баллистический режим). Тогда за время импульса рамка не успеет заметно сместиться, и все явления будет подобно явлению удара в механике. За время t на рамку подействует импульс момента силы, равный

 

,

где q -полный заряд, прошедший через гальванометр, μ - цена деления шкалы гальванометра в мкФ/дел. Поэтому рамка приобретает момент импульса

 

I w ₀ = ,

 

(w₀- угловая скорость рамки) и кинетическую энергию

 

.

 

После окончания импульса тока рамка начнет поворачиваться, и ее кинетическая энергия будет превращаться в потенциальную энергию закрученного подвеса:

 

W_n = f a ² /2.

Поэтому, если a _m есть максимальный отброс, то

 

.

 

Из этих уравнений находим

 

 ,

где b - постоянная прибора, называемая баллистическая постоянная. Мы видим, что, измеряя первый максимальный отброс гальванометра, можно определить полный заряд, прошедший через гальванометр.

Из зависимости q ~ a, исходя из определения емкости (2.1), следует, что

 

a ~ C.                                                  (2.4)

 

Выражение (2.4) можно записать в виде

 

C = a × μ.

 

Здесь С - емкость измеряемого конденсатора в мкФ, a - величина отброса стрелки гальванометра в делениях шкалы.

Построив график зависимости электроемкости от отброса стрелки гальванометра можно будет в дальнейшем, по известной электроемкости, сразу найти отброс стрелки гальванометра, и наоборот.

Описание установки

Набор конденсаторов (С) установлен внутри передней панели лабораторного стенда, с наружной стороны находится только переключатель с десятью положениями. Нумерация начинается с 0 и заканчивается 9. Каждому положению переключателя соответствует определенная емкость. 0 – отключено, 1 – С₁(0,2 мкф), 2 – С₂(0,5 мкф), 3 – С₃(1 мкф), 4 – С₄(1,5 мкф), 5 – С₅(2,3 мкф), 6 – С_х1, 7 – С_х2, 8 – С_хпосл, 9 – С_хпар. При выполнении данной лабораторной работы у гальванометра используются клеммы 2 и 3. Емкости подобраны таким образом, что при любом положении переключателя стрелка гальванометра не будет зашкаливать.