Чаще всего коэффициент корреляции определяется методом произведения моментов; получаемый в результате индекс обычно обозначается маленькой буквой r. Вычисленный через произведение моментов коэффициент r варьируется между полной положительной корреляцией (r = +1,00) и полной отрицательной корреляцией (r = -1,00). Отсутствие всякой связи дает r = 0,00.
Корреляция вычисляется через произведение моментов по формуле:
Здесь одну из парных мер называют x-показателем, а другую y-показателем, dx и dy — это отклонения каждого показателя от среднего; N — количество парных величин, а σx и σy — стандартные отклонения x-показателей и y-показателей.
Для определения коэффициента корреляции надо определить сумму произведений (dx) x (dy). Эту сумму вместе с вычисленными стандартными отклонениями для х-показателей и y-показателей можно затем подставить в формулу.
Пример вычисления корреляции через произведение моментов. Предположим, мы собрали данные, показанные в табл. П6. Для каждого испытуемого получено два показателя; первый — оценка на вступительных экзаменах (ее мы произвольно назовем x-показателем), а второй — оценки за первый курс (y-показатель).
Таблица П 6. Вычисление корреляции через произведение моментов
| Студент | Вступительный экзамен (x-оценка) | Оценка в конце года (y-оценка) | (dx) | (dy) | (dx) x (dy) |
| Андрей | 71 | 39 | 6 | 9 | +54 |
| Борис | 67 | 27 | 2 | -3 | -6 |
| Владимир | 65 | 33 | 0 | 3 | 0 |
| Григорий | 63 | 30 | -2 | 0 | 0 |
| Дмитрий | 59 | 2 | -6 | -9 | +54 |
| Сумма | 325 | 150 | 0 | 0 | + 102 |
| Среднее | 65 | 30 |
σx = 4, σy = 6
На рис. П6 показан точечный график этих данных. Каждая точка отражает x-показатель и y-показатель данного человека; например, верхняя точка справа означает Андрея. Глядя на эти данные, легко обнаружить, что между х- и у-показателями существует некоторая положительная корреляция. Андрей получил наивысшую оценку на вступительном экзамене и также получил наивысшую отметку за 1-й курс; Дмитрий получил и там, и там самую низкую отметку. В показателях других студентов есть немного нерегулярности, так что мы знаем, что корреляция не полная; следовательно, r меньше 1,00.
Рис. П6. Точечная диаграмма. Каждая точка отражает х- и у-показатели определенного учащегося.
Мы подсчитаем корреляцию, чтобы проиллюстрировать этот метод, хотя на практике ни один исследователь не станет считать корреляцию для столь малого количества показателей. Подробности приведены в табл. П6. Согласно процедуре, приведенной в табл. П3, мы вычисляем стандартное отклонение x-показателей, а затем стандартное отклонение y-показателей. Затем мы вычисляем произведение (dx) x (dy) для каждого человека и для 5 случаев в общем. Подставляя полученные числа в уравнение, получаем r = +0.85.
