Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат 
(рис. А.10). Около начала координат 
, опишем окружность единичного радиуса (единичную окружность). Зададим произвольное число 
. Рассмотрим вектор 
с началом в точке и концом в точке 
, принадлежащим пересечению единичной окружности с осью абсцисс. Повернем его на угол 
радиан, получив в результате вектор 
. Это означает, что конец вектора «пройдет» на единичной окружности дугу 
длины (
) в направлении против (по) часовой стрелке при 
(
). Функция синус (косинус) ставит в соответствие числу ординату 
(абсциссу 
) точки 
.
В тригонометрии используются также функции тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определяемые соответственно равенствами:
, 
, 
и 
.
Свойства тригонометрических функций:
1) области определения 
, 
, 
, 
, 
;
2) области значений 
, 
;
3) косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции;
4) синус и косинус – функции, периодические с периодом 
, а тангенс и котангенс – функции, периодические с периодом 
;
5) синус возрастает на промежутках 
и убывает на промежутках 
, 
;
 |
косинус возрастает на промежутках
и убывает на промежутках 
, ;
тангенс возрастает на промежутках 
, ;
 |
котангенс убывает на промежутках
, ;
6) основные тождества, связывающие тригонометрические функции:
, 
, 
, 
,
, 
,
, 
.
Графики тригонометрических функций изображены на рис. A.11-A.14.
Обратные тригонометрические функции
Функция 
, 
, возрастает и имеет областью значений отрезок 
. Поэтому она имеет обратную функцию, которая определена на 
, обозначается 
иназывается арксинусом.
Функция 
, 
убывает и имеет областью значений отрезок . Поэтому она имеет обратную функцию, которая определена на , обозначается 
иназывается арккосинусом.
Функция 
, 
, возрастает и имеет областью значений множество действительных чисел. Поэтому у нее есть обратная функция, которая определена на 
, обозначается 
иназывается арктангенсом.
Функция 
, , убывает и имеет областью значений множество действительных чисел. Поэтому у нее есть обратная функция, которая определена на , обозначается 
иназывается арккотангенсом.
Свойства обратных тригонометрических функций.
1) Области определения:
, 
.
2) Множества значений:
,
.
3) 
, 
, 
.
4) Арксинус и арктангенс – возрастающие функции, а арккосинус и арккотангенс – убывающие.
5) Арксинус и арктангенс являются нечетными функциями, а арккосинус и арккотангенс не являются ни четными, ни нечетными.
6) 
, 
.
Графики обратных тригонометрических функций представлены на рис. A.15-A.18.
Гиперболические функции
Гиперболическим синусом называется функция
.
Гиперболическим косинусом называется функция
.
Определим также гиперболический тангенс
и гиперболический котангенс
.
Свойства гиперболических функций:
1) области определения 
, 
;
2) области значений
, 
, 
, 
;
3) функции 
, 
являются возрастающими, 
убывает на 
и возрастает на 
, 
убывает на 
и на 
;
4) функции , и являются нечетными, а – четной;
5) справедливо основное гиперболическое тождество 
и тождества, подобные тождествам для тригонометрических функций:
; 
; 
;
.
Графики гиперболических функций представлены на рис. A.19-A.21.
 | |||||
 | |||||
 | |||||
