Задачи для самостоятельного решения

6.3.1. Докажите непрерывность функций , используя определение.

Исследовать функции на непрерывность и выяснить характер точек разрыва (если они есть).

6.3.2.	6.3.3.
6.3.4.	6.3.5.
6.3.6.	6.3.7.
6.3.8.	6.3.9.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: метод. указания / сост.: В.Ш. Ройтенберг, Л.А. Сидорова, С.А. Кривелевич, О.Н. Колесников. – Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2007. – 39 с. – № 2688.

2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебник для втузов: в 2 т. – М.: Интеграл-Пресс, 2001.

3. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1980. – 342 с.

4. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Высш. шк., 1981. – 250 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / под редакцией А.В. Ефимова и В.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981. – 462 с.

6. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1970. – 608 с.

7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч.: Учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1999.

Ответы

1.3.1. а) ; б) . 1.3.2. ; ; ; .

1.3.3. б) ; ; , - не существует.

1.3.5. истинно.	1.3.6. ложно.	1.3.7. истинно.	1.3.8. ложно.	1.3.9. истинно.
1.3.10. ложно.	1.3.11. истинно.	1.3.12. истинно.	1.3.13. истинно.	1.3.14. истинно.

2.3.2. . 2.3.4. . 2.3.6. ; ; ; . 2.3.8. б) , , .

2.3.10. , . 2.3.11. . 2.3.12. .

2.3.14. параболу сдвигаем вправо на 3/2 и вниз на 9/4.

2.3.16. График сжимаем в 2 раза вдоль оси O x и сдвигаем вверх на 1.

2.3.18. График симметрично отражаем относительно оси O x и оси O y и сдвигаем вверх на 1.

2.3.20. График сдвигаем вниз на 1; часть графика, расположенную ниже оси O x, симметрично отражаем относительно оси O x.

2.3.22. часть графика , расположенную ниже оси O x, симметрично отражаем относительно оси O x, а затем сдвигаем вниз на 1.

2.3.24. Гиперболу сдвигаем вправо на 1 и вверх на 1.

2.3.26. Синусоиду сдвигаем влево на ; сжимаем в 2 раза вдоль оси O x и растягиваем в 3 раза вдоль оси O y.

2.3.28. График симметрично отражаем относительно оси O x и сдвигаем вверх на 2.

2.3.30. График симметрично отражаем относительно оси O y и сдвигаем вправо на 4.

2.3.32. При ; при строим вторую ветвь симметрично первой относительно оси O y; обе ветви симметрично отражаем относительно оси O x.

2.3.34. График растягиваем в 2 раза вдоль оси O y и сдвигаем вверх на .

3.3.3. 1.	3.3.4. 2/3.	3.3.5. 1.	3.3.6. 2.
3.3.7. 2.	3.3.8. 0.	3.3.9. 1.	3.3.10. 1.
4.3.2. -9.	4.3.3. 2,5.	4.3.4. ∞.	4.3.5. ∞.
4.3.6. 0.	4.3.7. 0.	4.3.8. 7/6.	4.3.9. ∞.
4.3.10. ¾.	4.3.11. 2.	4.3.12. 4.	4.3.13. 1/32.
4.3.14. 5.	4.3.15. 3	4.3.16. ∞.	4.3.17. 0.
4.3.18. 0.	4.3.19. 0.	4.3.20. 0.	4.3.21. 1/3.
4.3.22. 0.	4.3.23. 3/2.	4.3.24. 2.	4.3.25. α/β.
4.3.26. ½.	4.3.27. ½	4.3.28. 0.	4.3.29. 0.
4.3.30. 1	4.3.31. exp(-3/2).	4.3.32. e.	4.3.33. .
4.3.34. exp(-6).	4.3.35. 2.	4.3.36. exp(-1).	4.3.37. e.
5.3.2. .	5.3.3. .	5.3.4. .	5.3.5. .
5.3.6. .	5.3.7. .	5.3.8. 2.	5.3.9. ∞.
5.3.10. 1/6.	5.3.11. 1/3.	5.3.12. -19/3.	5.3.13. 1.
5.3.14. .	5.3.15. 2/5.	5.3.16. .	5.3.17. 2.
5.3.18. 3.	5.3.19. -4.	5.3.20. 4/3.	5.3.21. 3/2.
5.3.22. 0.	5.3.23. 0.	5.3.24. 1.	5.3.25. 0.
5.3.26. 0.	5.3.27. 1.	5.3.28. .	5.3.29. .
5.3.30. exp(-2).	5.3.31. e.	5.3.32. 0.	5.3.33. +∞.
6.3.2. - точка разрыва 2 рода.	6.3.3. - точка разрыва 2 рода.	6.3.4. - точка разрыва 1 рода.	6.3.5. непрерывна на .
6.3.6. непрерывна на .	6.3.7. - точка разрыва 1 рода.	6.3.8. - точка разрыва 1 рода.	6.3.9. непрерывна на .

Приложение А

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Постоянная функция

Это функция , которая ставит в соответствие любому число (рис. А.1).

Степенная функция

Степенная функция с показателем определяется следующим образом.

· При натуральном показателе : , , и , , для .

При нечетном n область значений функции – , функция нечетная и возрастающая, ее график изображен на рис. A.2. При четном n область значений – промежуток , функция четная, убывает на промежутке и возрастает на промежутке , ее график изображен на рис. A.3.

· При целом отрицательном показателе :

, .

При нечетном n область значений – , функция нечетная, возрастающая на промежутках и , ее график изображен на рис. A.4. При четном n область значений – промежуток , функция четная, возрастает на промежутке , убывает на промежутке , ее график изображен на рис. A.5.

· При положительном рациональном показателе

, .

· При отрицательном рациональном показателе

, .

· При иррациональном показателе для любого существует единственное число такое, что для любых рациональных чисел и , удовлетворяющих условию , . Полагают .

Степенная функция с нецелым показателем

возрастает при

и убывает при

. Соответствующие графики изображены на рис. A.6 и A.7.

Степенная функция обладает следующими свойствами:

1) произведение степенных функций с показателями и также степенная функция (с показателем ):

;

2) композиция степенных функций с показателями и также степенная функция (с показателем ):

Показательная функция

Показательной функцией с основанием (, )называется функция, определенная на множестве всех действительных чисел и ставящая в соответствие числу число .

Область определения показательной функции , область значений . Основное свойство показательной функции: . При показательная функция возрастает, , , при убывает, , . Для обоих случаев ее график изображен на рис. A.8.

В математическом анализе удобно работать с показательной функцией с основанием . Она называется экспонентой и часто обозначается . Показательные функции с другими основаниями сводятся к экспоненте: , где .

Логарифмическая функция

Показательная функция возрастает (убывает) при () на всей области определения, поэтому существует обратная к ней функция, которую называют логарифмической функцией с основанием (или просто логарифмом)и обозначают . Если , то вместо записывают (натуральный логарифм), если , то вместо пишут (десятичный логарифм).