Задачи для самостоятельного решения

5.3.1. Вывести формулы (3) – (5) таблицы, используя первый замечательный предел, и формулы (6) – (8) таблицы, используя второй замечательный предел.

В задачах 5.3.1 – 5.3.5 сравнить функции.

5.3.2. и ().

5.3.3. и ().

5.3.4. и ().

5.3.5. и ().

5.3.6. Найти главную степенную часть функции и ее порядок (относительно ) при .

5.3.7. Найти главную степенную часть функции и ее порядок (относительно ) при .

Вычислить пределы:

5.3.8. .	5.3.9. .
5.3.10. .	5.3.11. .
5.3.12. .	5.3.13. .
5.3.14. .	5.3.15. .
5.3.16. .	5.3.17. .
5.3.18. .	5.3.19. .
5.3.20. .	5.3.21. .
5.3.22. .	5.3.23. .
5.3.24. .	5.3.25. .
5.3.26. .	5.3.27. .
5.3.28. .	5.3.29. .
5.3.30. .	5.3.31. .
5.3.32. .	5.3.33. .

Непрерывные функции

Сведения из теории

Односторонние пределы

Говорят, что левый (соответственно, правый) предел функции в точке равен (), если для любого числа найдется такое число , что при и (соответственно ) .

Обозначения: или (соответственно или ).

Если функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , то Û .

Понятие непрерывности

Функция f называется непрерывной в точке , если

то есть при всех и таких, что .

Обозначим – приращение аргумента в точке , – соответствующее ему приращение функции. В этих обозначениях определение непрерывности функции в точке примет вид

то есть при бесконечно малом изменении аргумента бесконечно мало меняются и значения непрерывной функции.

Если функция задана в некоторой окрестности точки , то определение непрерывности функции в точке можно записать в виде, использующем односторонние пределы:

Такой подход полезен при исследовании «сшитых» функций – функций, заданных при и разными формулами.

Функция называется непрерывной на множестве J, если она непрерывна в каждой точке .

Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения. Сумма, разность, произведение, частное, композиция непрерывных функций также непрерывные функции. Все элементарные функции непрерывны.

Точки разрыва и их классификация

Точкой разрыва функции называется точка , в которой функция определена, но не является непрерывной, то есть либо существует, но не совпадает со значением в точке: , либо не существует.

Если в точке разрыва функции существуют конечные пределы слева и справа: и , но не совпадают между собой, то называется точкой разрыва 1 -го рода. Если же хотя бы один из этих пределов равен бесконечности или не существует, то называется точкой разрыва 2 -го рода.