Задачи для самостоятельного решения

4.3.1. Пользуясь определением предела функции, убедиться, что

а) , б) , в) , г) .

Найти пределы:

4.3.2. .	4.3.3. .
4.3.4. .	4.3.5. .
4.3.6. .	4.3.7. .
4.3.8. .	4.3.9. .
4.3.10. ;	4.3.11. .
4.3.12. .	4.3.13. .
4.3.14. .	4.3.15. .
4.3.16. .	4.3.17. .
4.3.18. .	4.3.19. .
4.3.20. .	4.3.21. .
4.3.22. .	4.3.23. .
4.3.24. .	4.3.25. .
4.3.26. .	4.3.27. .
4.3.28. .	4.3.29. .
4.3.30. .	4.3.31. .
4.3.32. .	4.3.33. .
4.3.34. .	4.3.35. .
4.3.36. .	4.3.37. .

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Сведения из теории

Основные понятия

Функция называется бесконечно малой при (), если

Функция называется бесконечно большой при (), если

При асимптотическом (предельном) исследовании относительного поведения функций и при вычисляется .

· Если , то говорят, что функции и эквивалентны (или асимптотически равны) при и пишут при .

· Если , где и , то при . В этом случае говорят, что функции и одного порядка при . Если при этом и являются бесконечно малыми (бесконечно большими), то говорят что и одного порядка малости (роста).

· Если , то пишут при и говорят, что бесконечно мала по сравнению с при . Если при этом и являются бесконечно малыми (бесконечно большими), то говорят, что () более высокого порядка малости (роста) по сравнению с () при .

· Если , то и при .

Если при , то говорят что -го порядка по сравнению с при . Ясно, что если и являются бесконечно малыми (бесконечно большими), то при и одного порядка малости (роста), а при более высокого порядка малости (роста) по сравнению с .

Если , то говорят что – главная степенная часть функции при .

Свойства

1. Если , то .

2. Если и , то .

3. Если и , то

и .

4. Если , то , где .

5. Если , то , где .

6. Û Û .

7. Если и , то и

, при .

В свойствах 1–7 подразумевается, что .

8. Если при , то при .

9. Если при , то при для .

Основные эквивалентности

№	Эквивалентность	Асимптотическая формула	При
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Использование эквивалентностей

При нахождении пределов

Пусть , при . Тогда

, ,

если пределы в правых частях этих равенств существуют.

Примеры решения задач

5.2.1. Доказать, что при (формула (2) таблицы).

◄ Находим предел отношения функций:

Предел равен 1, следовательно, функции эквивалентны при : . ►

5.2.2. Сравнить функции и при .

◄ Заметим, что и бесконечно малые функции:

, .

Так как , то при .

Это означает, что и бесконечно малые одного порядка (малости) при . ►

5.2.3. Сравнить функции и при .

◄ Эти функции являются бесконечно малыми при : , . Вычислим , так как и . Это означает, что или – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с . ►

5.2.4. Сравнить функции и при .

◄ Эти функции являются бесконечно большими при : , . Вычислим , так как и . Удобнее написать, что . Это означает, что или – бесконечно большая более высокого порядка (роста) по сравнению с при . ►

5.2.5. Найти главную степенную часть функции при .

◄ Так как при , а при , то при . То есть, главная степенная часть функции при равна . ►

5.2.6. Найти главную степенную часть функции и ее порядок (относительно ) при .

◄ Используем формулы (5) и (3) таблицы, свойства 2, 3 и тот факт, что при .

Получаем и

или . Таким образом, главная часть функции при равна , а ее порядок равен 2. ►

5.2.7. Найти главную степенную часть функции

и ее порядок (относительно x) при .

◄ Если в сумме функций заменить слагаемые на эквивалентные функции, то можно получить функцию не эквивалентную первоначальной[2]. Поэтому заменим каждое слагаемое на равную функцию, используя асимптотические формулы из последнего столбца таблицы.

По свойствам 7 и 9 , , и сумма трех слагаемых в скобке является также функцией .

Получили, что .

Таким образом, главная часть функции при равна , а порядок относительно бесконечно малой x равен 1. ►

5.2.8. Сравнить функции и при .

Решение 1.

◄ Так как

то при , то есть – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с . ►

Решение 2.

◄ .

По формуле (8) таблицы , и потому при , то есть имеет при второй порядок (относительно «простейшей» бесконечно малой ). По сравнению с решением 1 получен более точный результат. ►

5.2.9. Вычислить .

◄ При вычислении предела отношения числитель и знаменатель (согласно 5.1.3) можно заменить эквивалентными функциями. Переходя к натуральным логарифмам и используя формулы (2) и (6) таблицы эквивалентностей и свойства 2 - 3, получаем