Задачи для самостоятельного решения

3.3.1. Доказать, пользуясь определением, что . Составить таблицу.

	0,1	0,01	0,001

3.3.2. Доказать, пользуясь определением, что .

Вычислить пределы последовательностей:

3.3.3. .	3.3.4. .
3.3.5. .	3.3.6. .
3.3.7. .	3.3.8. .
3.3.9. .	3.3.10. .

3.3.11. Последовательность задана рекуррентно: и . Доказать, что она сходится и найти ее предел.

3.3.12. Доказать, что последовательность = , где – целая часть числа , сходится и найти ее предел.

3.3.13. Доказать, что последовательность , где , сходится, а последовательность , где , расходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Сведения из теории

Определение предела функции

Пусть и принадлежат расширенной числовой прямой , то есть являются либо действительными числами, либо одним из символов , . Предположим, что в любой проколотой окрестности точки есть хотя бы одна точка из области определения функции .

Говорят, что предел функции в точке (при , стремящемся к ) равен , если для любой окрестности точки найдется такая проколотая окрестность точки , что как только так .

Обозначения: или при .

В краткой записи

«Переведем» это определение на язык неравенств для двух случаев.

1) Пусть .

( )(рис. 20).

2) Пусть , а .

(рис. 21).

Конечно, в случае 1) означает, что можно взять сколь угодно малым, а в случае 2) сколь угодно большим.

Остальные 14 возможных случаев рекомендуется разобрать и проиллюстрировать самостоятельно.

Вычисление пределов непрерывных функций

В точках из их областей определения

Если предел функции в точке равен значению функции в этой точке:

, (4.1)

то функция называется непрерывной в этой точке. Можно показать, что любая элементарная функция непрерывна в каждой точке ее области определения, и потому ее предел в такой точке можно найти по формуле (4.1).

Арифметические операции над пределами

Пусть , . Тогда

1) ().

В этих равенствах условные записи , , и означают, что при вычислении соответствующего предела имеет место неопределенность: при указанных значениях A и B предел может быть любым или не существовать в зависимости от конкретного вида функций и . Методы вычисления пределов в случаях неопределенности (раскрытия неопределенности) рассматриваются ниже в разделах 4.2, 5.1.4, 5.2 и в дифференциальном исчислении (например, в методических указаниях [1]).

Предел сложной функции. Замена переменных в пределах

1. Пусть , при . Тогда, если , то

2. Пусть и функция f непрерывна в точке b. Тогда

Два замечательных предела

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел равен некоторому иррациональному действительному числу, которое называется числом Эйлера и обозначается буквой (). Итак,

Сделав замену , получим другую форму второго замечательного предела

С числом Эйлера связаны функции: экспонента и натуральный логарифм .

Примеры решения задач

4.2.1. Пользуясь определением предела функции в точке, убедиться, что .

◄ Надо доказать, что для любого найдется , такое что

По свойству абсолютной величины .

Выберем , тогда

Возьмем , тогда . ►

4.2.2. Найти .

◄ Функция является элементарной и точка ее области определения, поэтому непрерывна в точке , то есть или . ►

4.2.3. Найти .

◄ Функция не определена в точке , поэтому для вычисления предела нельзя воспользоваться непрерывностью функции. Так как , , то по правилу вычисления предела частного . ►

4.2.4. Найти .

Решение 1.

◄ Так как , , то имеем неопределенность . Сделаем тождественное преобразование дроби, позволяющее избавиться от неопределенности. Так как и – корни числителя, а и корни знаменателя, то . ►