Задачи для самостоятельного решения

Найти области определения и области значений функций.

2.3.1. .	2.3.2. .
2.3.3. .	2.3.4. .

2.3.5. Найти , если

2.3.6. Найти , если

2.3.7. Является ли функция элементарной?

2.3.8. Найти . Записать произведение функций в виде степенной функции, если

а) . б) .

Найти композиции , и их области определения.

2.3.9.

2.3.10.

Убедиться, что заданная функция имеет обратную и найти ее аналитическое выражение.

2.3.11.

2.3.12.

Построить графики следующих функций:

2.3.13. .	2.3.14. .
2.3.15. .	2.3.16. .
2.3.17. .	2.3.18. .
2.3.19. .	2.3.20. .
2.3.21. .	2.3.22. .
2.3.23. .	2.3.24. .
2.3.25. .	2.3.26. .
2.3.27. .	2.3.28. .
2.3.29. .	2.3.30. .
2.3.31. .	2.3.32. .
2.3.33. .	2.3.34. .

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

3.1. Сведения из теории

Расширенная числовая прямая. Окрестности точек

Добавим к числовой прямой

еще два элемента

(«бесконечно удаленные точки»). Получим расширенную числовую прямую . Ее модель в виде полуокружности изображена на рис. 17. Другой вариант расширенной числовой прямой получим, если отождествить и ( = = ): . Ее модель в виде окружности изображена на рис. 18.

Для любого числа определим ε-окрестность точки :

если , то

(рис. 19),

если , то

(рис. 17),

если , то

(рис. 17),

если , то

(рис. 18).

Проколотая ε-окрестность точки : .

Последовательность и ее предел

Последовательностью называется функция , ставящая в соответствие каждому натуральному числу n действительное число (называемое n -м членом последовательности).

Будем обозначать последовательность – .

Говорят, что предел последовательности равен (), если для любой окрестности точки найдется номер , начиная с которого все члены последовательности принадлежат , то есть

Обозначения: , или .

Таким образом,

Единственность предела. Если у последовательности существует предел, то он единственный.

Свойства пределов последовательностей

1. , где С – постоянная.

Если существуют конечные пределы и , то справедливы следующие свойства:

2. .

3. .

4. .

6. Если , а , то .

Признаки сходящихся последовательностей

Последовательности, имеющие конечный предел, называются сходящимися, имеющие бесконечный предел или вообще его не имеющие, – расходящимися.

Теорема 1 (о сходимости монотонной ограниченной последовательности)

а) Если последовательность – неубывающая, то есть и, если она ограничена сверху, то есть , то она сходится; при этом .

б)Если последовательность – невозрастающая, то есть и, если она ограничена снизу, то есть : , то она сходится; при этом .

Теорема 2 (Критерий Коши) (необходимое и достаточное условие сходимости последовательности). Последовательность сходится тогда и только тогда, когда для каждого e > 0 существует такое натуральное число , что неравенство выполняется при всех .

Теорема 3 (о пределе промежуточной последовательности)

Если , а , то и .

Примеры решения задач

3.2.1. Доказать, что , пользуясь определением предела последовательности.

◄ Пусть . Надо доказать, что для любого числа найдется такое натуральное число , что . Так как

то

Возьмем – следующее за целое число[1].

Тогда при , то есть .

При .

При . ►

3.2.2. Доказать, что , пользуясь определением предела последовательности.

◄ Обозначим . Надо доказать, что можно подобрать натуральное так, чтобы .

Так как

то

Взяв , получим, что , то есть . ►

3.2.3. Найти предел .

◄ Разделим числитель и знаменатель дроби на – наибольшую из степеней n в числителе и знаменателе:

. ►

3.2.4. Последовательность задана рекуррентно: и . Доказать, что она сходится и найти ее предел.

◄ Выпишем несколько членов последовательности: , , , .

По ним можно предположить, что последовательность не убывает и ограничена сверху числом 2. Докажем это. Пусть . Тогда и действительно . По теореме 1 последовательность сходится, то есть существует конечный . Переходя в равенстве к пределу, используя свойства 1) – 3), получаем , откуда . ►