Задачи для самостоятельного решения

1.3.1. Задать следующие множества перечислением элементов.

а) ;        б) .

1.3.2. Пусть , .

Найти , , , , .

1.3.3. Найти , ,  (если они существуют) для следующих множеств.

a) ;                                        б) .

1.3.4. Найти , ,  (если они существуют) для следующих множеств.

a) ;      б) .

Выяснить смысл приведенных высказываний и установить, истинны они или ложны.

1.3.5. .	1.3.6. .
1.3.7. .	1.3.8. .
1.3.9. .	1.3.10. .
1.3.11. .	1.3.12. .
1.3.13. .	1.3.14. .

ФУНКЦИИ

Сведения из теории

Основные понятия

Пусть  – некоторое множество действительных чисел. Говорят, что на множестве  задана (числовая) функция  если каждому числу  (аргументу функции) поставлено в соответствие единственное число, обозначаемое  и называемое значением функции в точке x. Множество  называется   областью определения функции, а множество  - областью значений функции.

Функция обозначается также  или , или , или просто .

Графиком функции f  (рис. 7) называется множество

.

Наиболее распространенным способом задания функций является аналитический. Он состоит в том, что с помощью формулы задается алгоритм вычисления значения функции  по значению ее аргумента x. В этом случае область определения обычно не указывают, понимая под ней множество всех тех значений x, при которых данная формула имеет смысл.

 

Арифметические операции над функциями

 

Суммой (разностью) функций  и  называется функция  (), определенная на множестве , значение которой в точке  вычисляется по формуле

.

Произведением функций  и называется функция , определенная на множестве , значение которой в точке  вычисляется по формуле

.

Частным функций  и называется функция , определенная на множестве , значение которой в точке  вычисляется по формуле .

Композиция функций

Композицией функций  и  (или сложной функцией, полученной композицией функций  и ) называется функция  (рис. 8), задаваемая формулой  на множестве .

 

Обратная функция

Пусть функция  такова, что ,

например,  – возрастает:

или  – убывает:

.

Тогда для любого  найдется единственное , такое что . Тем самым определена функция , , называемая функцией обратной к  (рис. 9).

Ясно, что

, ,

 и .

График  обратной функции получается из  преобразованием плоскости , переводящим любую точку  в точку , симметричную ей относительно прямой  (рис. 10).

 

 

Элементарные функции

Следующие функции называются основными элементарными функциями:

1) постоянная функция ;

2) степенная функция ;

3)

Рис. 9

показательная функция ;

4) логарифмическая функция ;

5) тригонометрические функции ;

6) обратные тригонометрические функции , .

Их определения, свойства и графики приведены в приложении A.

Элементарной функцией называется функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции.

Примерами элементарных функций являются гиперболические функции: синус гиперболический    и косинус гиперболический . Их свойства и графики также приведены в приложении A.

Примером неэлементарной функции является функция сигнум (функция «знак»), заданная формулой

Преобразование графиков

 

Если Г – график функции , то

1) график функции  симметричен Г относительно оси Ox;

2) график функции  симметричен Г относительно оси Oy;

3) график функции , получается сдвигом Г вдоль оси Ox вправо на a при  влево на , при

4) график функции , получается сдвигом Г вдоль оси Oy вверх на b, при , вниз на , при ;

5) график функции , получается сжатием Г в a раз (при ) или растяжением в  раз (при ) вдоль оси Ox;

6) график функции , получается растяжением Г в b раз (при ) или сжатием в  раз (при ) вдоль оси Oy.

 

Примеры решения задач

2.2.1. Найти область определения и область значений функции, заданной формулой .

◄ Функция  определена при значениях аргумента . Поэтому рассматриваемая функция определена при . Решаем это неравенство: .

. Итак, . ►

2.2.2. Убедиться, что функция синус гиперболический  имеет обратную  (обозначаемую также ). Выразить ее через основные элементарные функции.

◄ Областью значений функции  является множество всех действительных чисел. Докажем, что для любого  уравнение , то есть уравнение ,  имеет относительно  единственное решение и найти его. Перепишем уравнение в виде . Оно равносильно совокупности уравнений

.

Второе из этих уравнений имеет отрицательную правую часть и потому решений не имеет, а первое имеет единственное решение . Итак,  существует и задается формулой

. ►

2.2.3.  Найти композиции  и  функций f и g, если , .

◄ ;

. ►

2.2.4.  Построить график функции .

◄ Выделим полный квадрат:

. Поэтому график функции  получается из параболы  путем последовательных преобразований: 1) сдвигом вдоль оси Ох на единицу вправо; 2) симметрией относительно оси О х; 3) сдвигом вдоль О y вверх на 4 единицы (рис. 11). ►

2.2.5.  Построить график функции .

◄ Преобразуем правую часть следующим образом:

.

Поэтому функцию  можно записать в виде . Ее график получается из графика функции  (гиперболы) сдвигом вдоль оси Ox на 2 влево и вдоль оси Oy             на  1 вниз (рис. 12). ►

2.2.6. Построить график функции .

◄ По определению модуля действительного числа имеем

График логарифмической функции , сначала сдвигаем вдоль оси Ox на 1 влево. Затем часть графика, расположенную над осью Ox оставляем без изменения, а часть графика, расположенную под осью Ox отражаем симметрично относительно оси Ox (рис. 13). ►

2.2.7.  Построить график функции .

◄ Так как , то график функции получается из синусоиды  путем следующей цепочки преобразований: 1) сдвигом на  вправо получается график функции  (рис. 14);

2) растяжением вдоль оси Ox в 3 раза предыдущего графика получается график функции ; 3) график функции  получается растяжением вдоль оси Oy в 2 раза (рис. 15). ►