Моделирование остывания заряда БТТ

Следующий этап расчетов – моделирования процесса остывания заряда БТТ, которая в рамках лаб. раб. сводится к определению зависимости изменения во времени температуры заряда. Из курса тепломассообмена известно, что любой процесс изменения температуры твердого тела можно условно разделить на три режима: начальный режим распространения температурных возмущений, режим упорядоченного процесса и завершающий стационарный режим (по истечении бесконечно большого времени). Для практических задач остывания заряда первым и последним режимами можно пренебречь.

Решение поставленной задачи требует последовательного подхода, состоящего из нескольких операций.

 

1. Сначала определяется коэффициент теплоотдачи. В работе требуется рассмотреть случай остывания заряда на воздухе. При этом следует принять, что остывание определяется свободной конвекцией в условиях, когда размеры тела, нарушающего тепловое равновесие, малы по сравнению с объемом окружающей его среды. При этом область теплового и газодинамического возмущения локализуется около рассматриваемого тела. Условия однозначности рассматриваемой задачи включают в себя форму и размеры заряда, начальное распределение температуры в нем, температуру невозмущенной среды, ее физические параметры и величину ускорения в поле тяжести.

При этих условиях в тепловом расчете используются следующие критерии:

Грасгофа:

Прандтля:

Нуссельта:

Коэффициент теплоотдачи определяется критериальным уравнением следующего вида:

В качестве исходных данных для расчета, в первую очередь, принимаются массогабаритные характеристики заряда, а именно: масса заряда , плотность топлива и эквивалентный радиус заряда, который определяется по формуле:

.

Теплофизические характеристики заряда (удельная теплоемкость , коэффициент теплопроводности , начальная температура заряда ) так же являются исходными данными для расчета, как и рассматриваемый период времени .

Важными исходными данными являются теплофизические характеристики среды: удельная теплоемкость , коэффициент теплопроводности , температура среды , ускорение свободного падения , коэффициент динамической вязкости среды коэффициент кинематической вязкости среды Среднее значение коэффициента линейного расширения определяется по формуле:

Если предположить, что рассматриваемый заряд твердого топлива остывает в изобарных условиях, то можно использовать первый закон термодинамики в виде:

.

где удельная энтальпия топлива.

Величина соответствует количеству тепла, отдаваемого топливом (шарообразным зарядом) окружающей среде вследствие естественной конвекции.

Приведем дифференциальное уравнение теплового состояния к виду, удобному для интегрирования.

В результате интегрирования получим конечную аналитическую зависимость:

Однако, для определения распределения температуры в заряде БТТ в процессе его остывания необходимо применить методы численного моделирования. Одним из таких методов является метод конечных разностей.

Суть метода конечных разностей заключается в дискретизации, т.е. замене бесконечно малых величин производных малыми, но конечными величинами разностей (приращений). Одним из вариантов построения конечно-разностного аналога уравнения является метод контрольного объема (КО), который имеет конечные размеры.

Разделим заряда БТТ (представленный в виде сферы эквивалентного радиуса), на конечные объемы с одинаковым шагом и поместим в каждый из них расчетную точку (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Схема разделения эквивалентного заряда БТТ на конечные объемы

 

Решение задачи методом конечных объемов представляет собой циклический процесс, т.е. на каждой итерации находится решение на новом шаге по времени. Для решения подобных задач могут использоваться явные схемы, неявные схемы и схемы, являющиеся комбинацией двух предыдущих. Наиболее простым вариантом является явная схема решения, которая рассмотрена в настоящей работе. Для определения искомой величины (в данном случае температуры) используется информация с предыдущей временной итерации.

Для решения поставленной задачи используем метод контрольных объемов. При этом уравнение теплового состояния определяется следующим образом:

Пусть шаг по , а шаг по Тогда явная схема решения имеет вид:

Для определения количества теплоты, передаваемого элементарному объему можно записать два выражения. Первое справедливо для i = 1… N -1, fвторое является граничным условием третьего рода(на поверхности заряда):

Начальное условие:

При этом для нулевого элемента можно принять следующее условие:

Таким образом, можно выразить искомую температуру, как:

После определения распределения температуры в заряде требуется оценить максимальное эквивалентное напряжение, возникающего в результате неравномерного остывания заряда БТТ.

Для расчета напряжений допустимо воспользоваться линейной аппроксимацией температуры в заряде:

где зависимость температуры в центре заряда (шара) от времени, зависимость температуры на стенке заряда от времени.

Компоненты напряжений выражаются следующими формулами:

Радиальное напряжение

Тангенциальное напряжение

Эквивалентное напряжение