Эти перестановки образуют четверную группу Клейна.

В этой группе самая верхняя строка означает единичный элемент группы, т.е. перестановку, в которой задается перевод каждой вершины графа в самое себя, отображаемые петлями в вершинах графа. С точки зрения воспроизводственной теории это означает задание ВЦ, которые обеспечивают воспроизводство данных ЯВ за счет их собственных ВС. Для Природы ясно, что кроме ВП в ВС присутствует еще и энергия Солнца, т.е. воспроизводство биоценоза является, в конечном итоге, открытой системой. Точно также открытой системой является и воспроизводство человеческих общностей. Однако на конечных интервалах времени в истории первобытных обществ случались в силу тех или иных причин (неурожаев, локальных катастроф - пожаров, наводнений) размыкания воспроизводственных циклов. При отсутствии "института" запаса продуктов в качестве последних, т.е. элементарным ВС, служили сами первобытные люди, т.е. существовал институт людоедства ради воспроизводства первобытной общины. Для отображения этой ситуации, включая все сказанное о биоценозах, и введена эта единичная перестановка, т.е. петли в вершинах графа.

Но прежде, чем перейти к дальнейшему повествованию о группах, заданных на графах, еще раз разберемся в том, что такое группа, хотя формальное определение выше было дано.

Пусть задано конечное множество элементов m_i Є M любой природы, например, целые числа или вращения тетраэдра с помеченными вершинами или разноцветные пятна на поверхности шара и т.д. И пусть задана бинарная алгебраическая операция, сопоставляющая по какому-либо правилу каждой паре элементов множества М какой-то элемент этого же множества (условие замкнутости). Тогда говорят, что на множестве М задан группоид. Если в отношении бинарной операции справедливо условие ассоциативности, т.е. m_i Θ(m_jΘ m_k) = (m_i Θm_j)Θm_k, то говорят, что группоид обладает свойствами полугруппы. Если в группоиде для любой пары m_i и m_j существуют однозначные решения уравнений m_i Θ x = m_j и y Θ m_i = m_j, то говорят, что задана квазигруппа. Если же для любого элемента полугруппы m_i существует его обратный элемент, т.е. m_i Θ (m_i)^-1= е, то говорят, что на множестве элементов задана группа.

Примеры полугруппы: множество элементов {-1, 0, 1} с бинарной операцией - умножением. Проверяем условие замкнутости: -1 * -1 = 1; 1 * 0 = 0; 1* -1 = -1 и т.д. Новых элементов не возникает. Единичным элементом является "1". Закон ассоциативности выполняется: 1 * (-1 * 1) = (1 * -1) * 1. Однако не для всех элементов, например, "0" существует в смысле арифметической операции обратный элемент: 0*а ≠ 1.

Примером еще одной полугруппы является пара элементов {0, 1} с булевой операцией сложения. При этом "единицей" является 0.

Пример попытки получения группы из группоида: Пусть на белой поверхности шара разными красками отмечено некоторое множество пятен, а бинарной операцией "умножения" является соединение пятна р1 с пятном р2 отрезком прямой и восстановление в середине этого отрезка перпендикуляра в ту сторону, в которую оказывается построенной полуокружность из середины этого отрезка, начиная с первого по порядку обозначения пятна, например, р1, и проводимая ко второму пятну по часовой стрелке. При этом возможны две ситуации: либо эта перпендикулярная к отрезку линия пересечется с каким-то пятном, либо, обогнув по поверхности шара, снова пересечет тот же отрезок. В первом случае это будет одно из имеющихся на поверхности шара пятен, т.е. выполняется условие замыкания, а во втором случае "умножение" привело к одному большому "белому" пятну, знаменующему собой "единицу" в этой системе подмножеств. То, что это группоид гарантирует замкнутость результатов применения бинарной операции. Но выполнимо ли в этой системе условие ассоциативности? (Домашнее задание: проверить это)

Справка: задание группоида на поверхности тела, топологически эквивалентного шару, позволяет примерно при том же объеме информации, что и в передаваемом словесном портрете, задавать больше его дискриминирующих признаков, например, удлиненность или треугольность конфигурации лица.

Подобным образом построенные перестановки графа ⁴G₄ образуют группу, изоморфную группе всех симметрий тетраэдра[3], и общее число перестановок равно n! = 24, где n - степень групп, т.е. число переставляемых одной перестановкой элементов. Например, это С, Р, Л, О, где С- собиратель, Р - рыбак, Л - лес, О- озеро. Этот подход, на наш взгляд, интересен тем, что позволяет создать основу для реконструирования истории человеческого общества в категориях становления его системы общественного воспроизводства (СОВ) и его простейших воспроизводственных циклов - ВЦ, что, с другой стороны, имеет целью объяснить возникновение первоначальных социальных генов.

Первой обнаружилась группа перестановок для полного графа G₄, возникшая на базе 8 перестановок и являющаяся подгруппой группы симметрий тетраэдра:

Т₀ – перестановка тождественного преобразования:

Эта перестановка на множестве {Л, О, Р, С} генерирует слово, характеризующее ВЦ, где есть людоедство: СРЛО СРЛО.

Т₁ – перестановка, описывающая вложение труда каждым племенем –«3», «4» и получение его продукта как на участке 1, так и 2:

Т₂ – перестановка, учитывающая сбор урожая племени «4» на участке «1», принадлежащего племени «2» и наоборот, при сохранении труда (сбора соответствующих урожаев) каждого племени на своем участке, например, посева зерновых или огородных культур:

Т₃ – перестановка, перестановка, учитывающая сбор урожая племени «4» на участке «1», принадлежащего племени «3» и наоборот, при осуществлении труда на выделенных участках сельхозугодий соседних племен (в соответствии с календарем с.-х. работ):

Т₄ – перестановка, отражающая ту фазу с.-х. образа жизни, когда сельско-хозяйственные угодья находятся в цикле самообновления, например, «под паром», а племена обмениваются «излишками» из своего запаса:

Т₅ – перестановка, учитывающая транспозиции с.-х. интеграции (1-2, 2-1 – корма для животных, навоз для пашен) при наличии прямого обмена излишками урожая:

Т₆ – перестановка учитывающая транспозиции с.-х. интеграции (1-2, 2-1 – корма для животных, навоз для пашен) при фазе тождественного воспроизведения каждого племени (3 и 4) самих себя:

Т₇ – перестановка, учитывающая сбор «урожая» каждым племенем на своем участке, а также проведение работ по обработке участков сельско-хозяйственных угодьев, выделенных соседями:

То, что эти перестановки образуют группу, легко проверяется, - результаты проверки представлены в Таблице1:

	Т₀	Т₁	Т₂	Т₃	Т₄	Т₅	Т₆	Т₇
Т₀	Т₀	Т₁	Т₂	Т₃	Т₄	Т₅	Т₆	Т₇
Т₁	Т₁	Т₀	Т₄	Т₅	Т₂	Т₃	Т₇	Т₆
Т₂	Т₂	Т₆	Т₅	Т₄	Т₁	Т₇	Т₃	Т₀
Т₃	Т₃	Т₅	Т₆	Т₀	Т₇	Т₁	Т₂	Т₄
Т₄	Т₄	Т₇	Т₃	Т₂	Т₀	Т₆	Т₅	Т₁
Т₅	Т₅	Т₃	Т₇	Т₁	Т₆	Т₀	Т₄	Т₂
Т₆	Т₆	Т₂	Т₁	Т₇	Т₅	Т₄	Т₀	Т₃
Т₇	Т₇	Т₄	Т₀	Т₆	Т₃	Т₂	Т₁	Т₅

Вообще говоря, порядки найденных подгрупп- 4 и 8 - группы симметрий тетраэдра {T₀, T₁, …, T₂₃}являются делителями порядка этой группы – 4! = 24. С формальной точки зрения делителями этого порядка могли бы являться еще порядки 2, 3, 6 и 12 соответствующих подгрупп. Ниже представлены подгруппы таких порядков.

Имеются 9 подгрупп, помимо тривиальной, 2-го порядка: {T₀, T₁}, {T₀, T₃}, {T₀, T₄}, {T₀, T₅}, {T₀, T₆}, {T₀, T₁₃}, {T₀, T₁₅}, {T₀, T₁₆}, {T₀, T₁₈}, 4 подгруппы 3-го порядка: {T₀, T₁₄, T₂₀ }[4], {T₀, T₂₂, T₂₃}, {T₀, T₁₇, T₁₉}, {T₀, T₁₂, T₂₁} и ими, кстати, исчерпываются все подгруппы этого порядка [14].