Для хвойных шишек типичны дроби (21/8), (34/13 (55/21).

Почему именно такие дроби, а не другие - неизвестно. Хотя в качестве гипотезы можно высказать соображение, что такое “вращение” листьев около ствола связано с оптимальным захватом потока солнечных лучей для обеспечения динамики роста растения. Обратим внимание на то, какие именно числа располагаются в числителях и знаменателях этих биолого-ботанических дробей и запишем их в порядке возрастания:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

Существуют два ряда биологических дробей. Они строятся так - в обоих рядах числители суть числа Фибоначчи, начиная с третьего:

2/1, 3/2, 5/3,8/5,13/8,21/13,34/21...

2/1,3/1, 5/2,8/3,13/5,21/8, 34/13...

Числа Фибоначчи в знаменателях первого ряда начинаются со второго числа, а в знаменателях второго – с первого. Запишем эти дроби как десятичные. Имеем соответственно:

2,0, 1,5, 1,6666667, 1,6, 1,625, 1,6153846...

2,0, 3,0, 2,5, 2,6666667, 2,6, 2,625...

Конечно, выписать все не удастся - ведь этих чисел бесконечно много! Тем не менее, устойчивая тенденция улавливается уже по выписанным числам и в итоге она отражается таким числом, от которого все менее уклоняются члены верхней последовательности

(1+ 5) ¤ 2=1,6180339...

Обратимся к рис.1.7., на котором изображён прямолинейный отрезок АВ, длина которого равна единице. Точка С делит отрезок АВ на две части АС и СВ неравной длины так, что отношение длины меньшего отрезка к длине большего равно отношению длины этого последнего отрезка к длине всего отрезка АВ:

СВ / АС = AC / AB

АС = АВ- CB

Рис.1.6

А С B

Рис 1.7.

Введём следующее обозначение АС=x. Тогда СВ = 1-х, а

пропорция (1-х/ x = x / 1) примет видравенства:

1 — х = х²

Последнее совсем просто преобразуется в квадратное уравнение

x²+x -1=0,

положительный корень которого

х= (Ö5 - 1)/2 = 0,6180339[7]

Записывая величину 1 / x, получаем число a = (1 + Ö5)/2 = 1.618, которое используется в формуле Бине для записи n – го члена ряда Фибоначчи:

F_n = 1 / Ö5 (aⁿ – (-a)^-ⁿ)

Полезно хранить в памяти ряд формульных заготовок, на случай полезных упрощений или преобразований с использованием ряда Фибоначчи, начиная с его определяющей формулы рекуррентной последовательности:

при n = 0, 1, 2, … {F_n₊₂= F_n + F_n₊₁}: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

(F₁)² + (F₂)² + (F₃)² + … + (F_n_-1)² +(F_n)² = (F_n) * (F_n₊₁)

(F_m+n) = (F_m-1) * (F_n) + (F_m) * (F_n+1)

(F_2n) = (F_n) ((F_n-1) + (F_n+1))

(F_3n) = (F_n+1)³ + (F_n)³ - (F_n-1)³

Такого рода соотношения полезны как крючья, веревка и прочая оснастка альпиниста, в восхождении модельера-математика на пик Истины.

Например, известно определение вурфовой последовательности для трехчленных кинематических блоков тела человека, например, для фаланг пальцев.

Так на Рис. 1.8. показаны концевые расчленяющие точки А, Б, В, Г, для расстояний между которыми и записывается этот индекс:

Б В

W = (В – А)*(Г – Б) ¤ ((В – Б) *(Г – А))

В силу того, что антропометрическими измерениями установлено, что в процессе роста этим точкам в зависимости от возраста в годах- n = 0, 1, 2, …могут быть сопоставлены члены Фибоначчиевой последовательности так, что F_n₊₁отвечает точке А, F_n₊₂ – точке Б, F_n₊₃ - точке В, а F_n₊₄ точке Г, то соответствующие разницы, обозначенные в круглых скобках, определяют расстояния между точками. И тогда числа, определяющие вурфовую последовательность, получаются из формулы:

W = (F_n + F_n₊₁)*(F_n₊₁+ F_n₊₂)) ¤ (F_n₊₁ *(F_n + F_n₊₁+ F_n₊₂))

Вот теперь то и самое время воспользоваться заготовками – «крючьями и веревками альпиниста», чтобы упростить данное выражение. Поскольку по основной формуле F_n₊₂= F_n + F_n₊₁, то первая скобка в числителе приравнивается F_n₊₂, а скобка с тремя членами в знаменателе приравнивается 2* F_n₊₂, то есть эти полученные вверху и внизу члены можно сократить, что дает:

W = (F_n₊₁+ F_n₊₂) ¤ (F_n₊₁ * 2).

Еще раз применив к скобке в числителе ту же основную формулу и заменив частную запись на запись в общем виде, получим выражение для последовательности чисел вурфа:

W = F_n₊₂ ¤ (2*F_n),

которые в пределе, т.е. при n ® ¥, стремятся к золотому вурфу[8] – 1.309…

В конце Курса, если останется время, то я покажу вам, как "золотые соотношения" связаны еще с одной модной ветвью математики - теорией фракталов и с числом Фейгенбаума, определяющим "сценарий, по которому порядок превращается в хаос" [8].

Итак, мы эскизно начали обрисовывать особенности направлений изучения языка математического моделирования живых систем, сужением множества которых являются социальные процессы и системы и к изучению которых мы приступаем.

Задание на дом: Здесь приводится пример помимо Примера 1 построения модели в соответствии с Определением модели - см. Рис.1.1.

Пример 2: Перестановка мебели – моделирование комнаты прямоугольником бумаги с отрезками для окон и двери и бумажными фигурами для мебели, находящимися в геометрически подобных отношениях с реальными размерами комнаты и предметами мебели.

Задача: Приведите в виде описанной модели характерную, для каких либо этносов организацию их жилого пространства, например, русской избы, японского домика для чайной церемонии и т.д. Попробуйте обосновать расположение некоторых предметов воспроизводственными циклами соответствующего образа жизни, отражающими ценностные ориентации и т.п. данного этноса.

Литература

1) Найдыш В.М. Концепции современного естествознания, Гардарики, М., 1999, стр 395-418.

2) Р.Пэнто, М.Гравитц. Методы социальных наук, Прогресс, М., 1972

3) Бахтин М.М. (под маской) Фрейдизм. Формальный метод в литературоведении. Марксизм и философия языка. Лабиринт, М., 2000

4) Шведовский В.А. О языке сопровождения вычислительного эксперимента для математических моделей социальных процессов // Математическое моделирование социальных процессов. – М., 1989

5) Чайковский Ю.В. О познавательных моделях // Исследования по математической биологии. – Пущино, 1996

6) Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование (Идеи, методы и примеры), Наука-Физматлит, 1997

7) Хомский Н., Дж. Миллер. Конечные модели использования языка // Кибернетический сборник, Мир, М., 1967.

8) Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов: Образы комплексных динамических систем. - М., Мир, 1993.

9) Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике / Центр естественно-научного образования гуманитариев - М.: Агар, 1999 - 332с.

10) Толстова Ю.Н. Концептуальное моделирование предметной области

исследования при изучении социальной напряженности//Традиции и

современность в социологии. – М.: МАКС Пресс, 2001 – 324 с.

11) Первозванский А.А. Поиск – М.: Наука, 1970 –264 с.

12) Чураков А.Н. О специфике модальных групп в частотных распреде -

лениях //Социология: методология, методы, математическое моделирование (4М), вып. 11, 1999.

Вопросы для самопроверки:

В чем назначение математического языка в моделировании?

Чем отличаются знак от модели, модель от алгоритма?

Назовите методологические этапы развития модели в направлении ее математической записи.

Какие ступени формализации модели можете сформулировать?

Зачем и почему моделируют?

На примерах из социальной жизни пояснить разницу между гомоморфизмом и изоморфизмом.

Ясно, что азбука Морзе как троичный алфавит (точка, тире, пробел) позволяет, в принципе, закодировать алфавит любой длины, - в чем, на Ваш взгляд, причина, что в практике открытого человеческого общения закрепился буквенный алфавит, а не "морзянка"?

[1] В работе [10] даны такие виды теоретических моделей как содержательная, концепитуальная и формализованная

[2] Мы с благодарностью к авторам [9] здесь и далее по тексту будем использовать их примеры.

[3] Толстова Ю.Н. Измерение в социологии. М.: «Инфра-М», 1998. С. 170.

[4] Там же, с. 171.

[5] См. там же.

[6] Для нашего изложения сейчас достаточно понимания гомоморфизма в сопоставлении и изоморфизмом – тогда если последнее – это взаимно однозначное соответствие между элементами каких-то двух множеств, то первое – это только однозначное соответствие элементов одного множества элементам другого множества. В этом, собственно, и выражается один из аспектов упрощения.

[7] Любопытно, что так записывается сторона правильного десятиугольника, если радиус его описывающей окружности равен 1, - при этом полезно помнить, что простейшим правильным многоугольником с осью симметрии, порядок которой делит 10, является пятиугольник – «носитель симметрии жизни», ибо им нельзя замостить- «вморозиться» - как квадратом или шестиугольником плоскость.

[8] Это число активно используется в модульной теории социума, анализ которой дан в [12].