Зачем и почему моделируют?

Главное назначение модели - замещение оригинала для преобразований, которые над ним хотят осуществить. Кстати, заметьте, что знак служит подобному же назначению! А в чем отличие??? (Дом. задание).

Цели моделирования многоплановы, например:

1) изучение на заместителе возможностей управления оригиналом;

2) выявление здесь узлов, уязвимых к экстремальным воздействиям;

3) построение прогнозов эволюции модели по одному из сценариев;

4) изучение свойств синтезируемого объекта, элементами которого служат модели оригиналов, объединяемых в одно целое.

Наиболее драматичными, особенно в советской истории, оказа­лись попытки распространить идею мате­матиче­ского мо­де­лирования жи­­вой материи на общество. С тем что, в принци­пе это уместно, вряд ли сейчас кто возьмется спорить. Ибо всем извест­но, что существуют объ­е­к­ты, эксперименты над которыми 1) не этичны, 2) не посильны, 3) фата­ль­но опасны, 4) невозможны on line (масштаб моделируемого процесса выходит за возрастные пределы жизни исследователя, например, цивилизационные изменения порядка 100 и 1000 лет). Поэтому естественно эксперимен­ти­ро­вать над “замес­тите­ля­ми” таких объектов. Полезно помнить, что опыт таких экс­пе­ри­ме­н­тов скла­ды­вался не просто, - возможно, из-за игнорирования необ­ходимо­сти такому модельеру быть полиглотом в выше упомянутом смы­с­ле.

Однако в 50-е – 60-е годы XX века и даже десятилетия позднее такая постановка вопроса в практической, а не в академической плоскости, была нереалистична даже на Западе. Я помню выступление лауреата Нобелевской премии В.В.Леонтьева, который жаловался в лекции, прочтенной им в стенах Института проблем управления (А и Т), что правительство Р.Никсона не желало ни прислушиваться к практическим рекомендациям, сделанным на основе математических экспериментов с математическими моделями социально-экономи­чес­кого развития США, ни финансировать развитие этих работ. С одной стороны, это говорит как бы об уроке незнания языка властной бюрок­ратии. Но есть и другой аспект – урок невостребованности матема­тических моделей из-за возможности справляться с управлением социальными процессами без использования этих самых моделей.

Такой расклад, в общем-то, понятен, ибо власть предержа­щим приходилось бы потесниться у кормила власти, допустив к этим ры­чагам научную интеллигенцию. Примерно такие же моти­вы, видно, имели место и в советском партийном руковод­стве, с той лишь раз­ни­цей, что попытки моделировать социальные процессы пре­се­кались уже и на академическом уровне – достаточно вспомнить судьбу авторов первой академической монографии “Моделирование социа­льных процессов” 1970 года. Мы еще вернемся к истории ста­но­в­ления математического моделирования социума в СССР и Рос­сии.

Итак, моделирование объективно предполагает исполь­зование абстрагиро­вания и идеализации объекта при выполне­нии условий изоморфизма формализованного вида модели и идеализированного объекта, устанавливающего взаимно-однозначное соответствие, обеспеченное “языковой” мобилизацией к участию в этом процессе специалистов –методологов, предметников и практиков- управленцев.

Важно отметить, что при обеспечении определенной степени изоморфизма модели и объекта, приходится всегда считаться не только со специфическим языком каждого участника этого процесса, но и с познавательными моделями (ПМ), с которыми они сжились и по-другому не мыслят себя упомянутые специалисты, что также требует употребления специального языка.

Под ПМ понимается «совокупность приемов и утверждений, которые для данного ученого или данных ученых (а также специалистов – ред. В.А.Ш.) настолько наглядны и самоочевидны, что через них принято объяснять (к ним сводить, ими моделировать) все факты и понятия» [5]. Я намеренно подчеркнул слово «моделировать», ибо здесь вводится именно то понимание, которое мы определяем ниже.

Определение модели: Объект А находится в модельном отношении с объектом Б тогда и только тогда, если как объекту А можно сопоставить гомоморфным[6] образом объект А₁ , так и объекту Б аналогично сопоставляется Б₁ причем так, что между А₁ и Б₁ устанавливаются отношения изоморфизма.

А ~ Б

Г₁ Г₂

 

А₁ Б_{1 Рис.1. 1}

И

Пример 1: установление отношений гомоморфизма – составление словесных портретов по внешнему облику политического деятеля - Б и его скульптурному образу - А из музея восковых фигур; изоморфизмом будет являться совпадение этих словесных портретов А¹ и Б¹.

Пример 2 - в задании на дом на последней странице этой лекции.

Итак, модель - это упрощенная картина объекта (или субъекта) реаль­но­го мира, обладающая некоторыми, но не всеми его свойствами. Она предс­та­в­ляет собой множество взаимосвязанных и взаимосо­гласо­ванных предпо­ло­жений о мире. То есть в известном качественном смысле – такая языковая конструкция как поэма, рассказ и т.п. литературная целостность уже может быть моделью, правда, только качественной, если она будет удовлетворять введенному определению. Если соотнести эту модель с кругом ПМ, то это будет семиотическая (знаковая) ПМ. Хотя она мо­жет рассматриваться наряду с механической (образ- часовой меха­низм), статистической (мир как совокупность балансов, средних и ин­ва­ри­антов), системной ( мир как целостный организм) или диатропической (мир как сад или ярмарка, но не огород или рынок).

Ясно, что языки взаимопонимания в разных ПМ – разные.

Переходя к количественным моделям, прежде всего, отметим моделирование в прогнозировании. Большей частью - это построе­ние поисковых и нормативных моделей с учетом вероятного или желате­льного изменения прогнозируемого явления на период упре­ж­дения прогноза по имеющимся прямым или косвенным данным о масштабах и направлении изменений. Наиболее эффективная прогнозная модель – это система уравнений. В частности, наиболее богатое описание могут дать нелинейные динамические системы, которыми непосредственно и занимается наша Лаборатория математического моделирования социа­ль­ных процессов, - достато­чно упомянуть моделирование этно-полити­­ческих конфликтов и “Макросоциум”, но имеют значение и другие разновидности моделей (в широком смысле этого термина):

сценарии, имитации, графы, матрицы, подборки показателей, графические изображения и т.д.

Математическое моделирование поведения, изменяющегося объекта социальной природы предполагает исследовательскую стра­тегию, основывающуюся одновременно как на индукции, так и на дедукции, включенными в многоцикличный итерационный про­цесс, естественно реализующий несколько контуров обратной связи в процессе моделирования (см. рис.1.2.)[4] и процессе взаимо­дествия с модельером методологов, предметников и управленцев:

Круг методологов Круг предметников

 

Модель

 

 

Объект

 

 

Программа Алгоритм

 

 

Управленцы-практики

Рис. 1.2. Согласование качественного и количественного в моделировании.

В этой схеме результатом согласования является «внутренняя троица»: модель - алгоритм – программа. Итоговым согласователем – «полиглотом» и является модельер-математик, который на схеме остался «за скобками», но разговаривать должен уметь как М.И.Кутузов - с солдатом на его языке, с аристократом - по-французски, а с царем - по-царски.

Ясно, что раз математическая модель в итоге ряда многошаговых ите­раций приобретает вид компьютерной программы, то должен быть спе­циальный язык ее записи в виде программы. Таким языком является ма­шинный код. Еще недавно модельеру было полезно знать и этот язык.

Однако современный уровень компьютерных технологий внес известное облегчение, создав целые серии модельных конструкторов – Диаспас (А.А.Кугаенко), ITHINK, MathCAD и др., когда, в сущности, надо иметь только алгоритм, реализующий процедуры взаимодействия различных функций, переменных и параметров модели, а введя его на общепонятном языке – интерфейсе в рабочее поле Конструктора, автоматически формируется запись машинного кода.

Итак, что же такое алгоритм как некий посредник между моделью и программой?

Вообще говоря, алгоритм – список действий, последовательность которых приво­дит к определенному результату.

Со школьных времен мы помним алгоритм Евклида – как получить частное от деления одного числа на другое.

Алгоритм может применяться не толь­ко к числовым величинам. Таков, например, алгоритм построения древ­не­го лабиринта (10 тыс. лет), предположительно, для маршрутизации похоронной процессии.

1) В основе лежит древний символ Царства нижнего мира, т.е. крест. Помещение усопшего в центр креста означало его приобщение миру мертвых, что впоследствии закрепилось в казни распятия на кресте.

 

 

 

 

Рис. 1.3.

 

2) На ниже приведенном рисунке цифрами показана последо­ва­тельность дуг, соединяющих концевые точки «креста», что означает именно формулировку списка действий:

2.1) соединить точку верхнего правого угла на Рис.1.3 с ближайшей концевой точкой, расположенной на этой же горизонтальной линии, дугой, выпуклой вверх;

2.2) сдвинуться по ближайшему ряду концевых точек вправо и от первой точки в этом ряду,- в данном случае от соседней по вертикали точки – концевой для линии угла – провести также выпуклую дугу, которая левым концом своим ляжет на следующую в горизонтальном ряду точку;

2.3) точно также повторить до исчерпания точек вдоль правого и левого контуров, окаймляющих фигуру Рис.1.4.

 

 

6

 

 

5

 

 

4

 

 

3

 

2

 

 

1

 

 

 

Рис.1.4

 

 

 

На следующем рисунке показан окончательно построенный лабиринт. При этом важно помнить, что так работающий алгоритм интересен не столько как геометрический алгоритм, а как код, достаточно высокой сложности, выработанный древними праэтносами, с помощью которых идентифицируются человеческие общности, обитавшие не только на Новой Земле, Заяцких островах Соловецкого архипелага, но и в Скандинавии, Средиземноморье. А обнаружение лабиринтов этого типа в Северной Америке доказывает, что сообщение с этим континентом существовало задолго не только до Колумба, но и до Эрика Рыжего – предводителя викингов, возможность чего недавно в XX веке показал Тур Хайердал. Сейчас (в 2004 г.) твердо установлено существование первобытных людей в циркумполярной зоне 30 тысяч лет назад, что подтвердило выводы ведологов еще в конце XIX и в XX веке, например, Тилака и Мюллера.

 

 

 

Рис.1.5.

 

3) Интересно отметить, что двигаясь от входа по коридорам лабиринта процессия совершала как бы колебания, то приближаясь, то удаляясь по отношению к центральному месту погребального ритуала.

Теперь приведем пример числового алгоритма.

 

Алгоритм последовательности Фибоначчи

 

Пусть пару кроликов поместили в загоне, огороженном со всех сторон, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится в течение как угодно длительного времени, а природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, и рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Предполагается, что кролики бессмертны.

"Так как первая пара в первом месяце даёт потомство, удвой, вэтом месяце окажутся 2 пары; из них одна пара, а именно, первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родят- ещё 2 пары кроликов, и число пар кроликов достигнет 5.

Из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвёртом месяце достигнет 8; эту логику можно с учетом бессмертия кроликов продолжать до бесконечности и генерировать подобным образом числа искомой последовательности (*), но прервем ее как дурную и обратимся к изображению процесса на рисунке 1.6. Среди винтовых линий внизу по центральной оси страницы изображены кружки, соединенные линиями. Каждый кружок - это пара кроликов. Старт процесса размножения кроликов, - кстати, есть соображение, что ему подобен некоторый процесс принятия управленческих решений по наилучшему сужению зоны неопределенности [11], - вверху диаграммы, т.е. начинается с 1 кружка, а справа дана шкала суммирования пар кроликов, которая и представляет знаменитые числа Фибоначчи.

 

Числа Фибоначчи (такое название закрепилось за числами последовательности (*) в XIX веке) привлекают внимание математиков загадочной особенностью возникать в самых неожиданных местах, но приметно то, что “эти места”, как правило, связаны с живой природой. Итак, мы получили последовательность чисел Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...

 

Весьма просто заметить, что если два последовательных числа Фибоначчи обозначить соответственно через Fn-i, Fn, то следующее за ними число Фибоначчи Fn+i вычисляется при по мощи простой формулы

Fn+i = Fn-i + Fn.

Во всех известных биологических дробях, описывающих винтовые симметрии растений, участвуют именно числа Фибоначчи (см. Рис. 1.6.). Это явление выражает действие закона филлотаксиса, которому посвящено много работ (Л.В.Белоусов, 1976; Ю.А.Урманцев, 1968, 1974; И.И.Шафрановский, 1968; Математика и искусство, Труды Международной Конференции М., 1997, С. 258). Выглядит это примерно так: будем в знаменателе откладывать число вращений, которое “совершает” ствол стебля при движении от нижнего листа к расположенному выше непосредственно над ним, а в числителе - число листьев, появляющееся в этом цикле- в промежутке. В соответствии с этим расположение листьев у подсолнечника задается дробью 5/1 (См. Рис. 1.6).

Подобные ботанические дроби можно наблюдать и у других растений:

(2/1)- у злаков, липы, бука, берёзы;

(3/1) - у осоки, тюльпана, орешника, винограда, ольхи;

(5/2) - у дуба, вишни, смородины, сливы;

(8/3) - у капусты, малины, груши, тополя, редьки, льна, барбариса;

(13/5) - у ели, миндальника, облепихи, жасмина.