Основные теоремы о пределах

 

Обозначим условие предельного перехода в виде . Здесь под обозначением будем понимать x ₀ или .

Пусть f (x) и g (x) — функции, для которых существуют пределы при , т. е.

, .

Кроме того, пусть c — постоянная величина.

 

Сформулируем основные теоремы о пределах функций.

 

1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела

.

2. Предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

.

3. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций

.

Теоремы по п.п. 2-3 можно распространить на любое конечное число функций.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю

, где .

5. Если , , то предел сложной функции равен

.

6. Если в некоторой окрестности точки x ₀ или при достаточно больших x выполняется условие , то

.

Замечательные пределы. Два часто используемых при решении задач предела называют замечательными пределами:

1. . Если аргумент x является функцией f (x), то .

2. . Аналогично .

 

В первом замечательном пределе, как и везде в курсе высшей математики, аргумент синуса берется в радианах. Второй замечательный предел равен иррациональному числу е, являющемуся основанием натуральных логарифмов и приближенно равному 2,72.

Второй замечательный предел иногда записывают в следующей форме:

или .

 

Асимптоты графика функции

 

Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая, расстояние до которой от точки графика стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

 

Различают 3 вида асимптот:

а) вертикальная асимптота. Ее уравнение x = a. График функции y = f (x), имеющий вертикальную асимптоту, может иметь вид, показанный на рис. 5.5.

Для нахождения вертикальной асимптоты графика функции y = f (x) достаточно найти точку a такую, что в этой точке хотя бы один односторонний предел бесконечен, т. е.

или/и .

Тогда прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x).

 

б) горизонтальная асимптота. Ее уравнение y = b. График функции y = f (x)изображен на рис. 5.6.

 

 

 

 

Рис. 5.6. Горизонтальная асимптота

 

Если

 

или/и ,

 

то прямая y = b является горизонтальной асимптотой (справа на ; слева на ) графика функции y = f (x). Если оба эти предела бесконечны или не существуют, то график функции y = f (x) горизонтальных асимптот не имеет. Если горизонтальных асимптот нет, то отыскивают наклонную асимптоту.

в) наклонная асимптота. Ее уравнение y = kx + b. График функции, имеющий наклонную асимптоту, изображен на рис. 5.7.

 

 

 

 

Рис. 5.7.Наклонная асимптота

 

Если существуют конечные пределы

 

и ,

то прямая y = k ₁ x + b ₁ является наклонной асимптотой справа графика функции y = f (x).

Если существуют и конечные пределы

 

, ,

то прямая y = k ₂ x + b ₂ является наклонной асимптотой слева.

 

Если хотя бы один из пределов при и при бесконечен или не существует, то график функции y = f (x) наклонных асимптот не имеет.

Заметим, что на рис. 3.7 прямая y = kx + b является одновременно наклонной асимптотой слева и справа (т. к. k = k ₁ = k ₂; b = b ₁ = b ₂).

Нетрудно видеть, что если k = 0, то наклонная асимптота превращается в горизонтальную, т. е. горизонтальная асимптота представляет собой частный случай наклонной асимптоты при k = 0.

 

3.8. Непрерывность функции в точке и на отрезке

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x ₀, если выполняются три условия:

1. Существует f (x ₀), т. е. значение функции в точке x ₀.

2. Существует конечный предел .

3. .

 

Очевидно, что если функция y = f (x) непрерывна в точке x ₀, то ее график можно провести через эту точку, не отрывая карандаша от бумаги (отсюда и название).

Если в точке x ₀ не выполняется хотя бы одно из трех указанных выше условий, то функция y = f (x) не является непрерывной (терпит разрыв) в точке x ₀.

Невыполнение каждого из условий можно проиллюстрировать рис. 5.8.

 

Не выполняется:

 

Рис. 5.8. Невыполнение условий непрерывности функции

 

 

Можно доказать следующие свойства функций непрерывных в точке:

1. Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x ₀, а с — постоянная величина, то функции

c f (x); ; ; , где

также непрерывны в точке x ₀ .

2. Если функция непрерывна в точке x ₀ , а функция f (u) непрерывна в точке u ₀ , то сложная функция

непрерывна в точке x ₀ .

Таким образом, знак предела можно вносить под знак непрерывной функции, т. е.

.

3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих области их определения.

 

Функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [ a, b ] (интервале (a, b)), если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (интервала).

 

Если функция y = f (x) в точке x ₀ не является непрерывной, то точка x ₀ называется точкой разрыва функции y = f (x).

Принята следующая классификация точек разрыва:

 

1. Если в точке разрыва x ₀ функции y = f (x) существует конечный предел , то x ₀ называется точкой устранимого разрыва функции y = f (x) (рис. 3.8, условие 1 и условие 3).

 

2. Если в точке разрыва x ₀ функции y = f (x) существуют конечные односторонние пределы и , то x ₀ называется точкой разрыва первого рода (рис. 3.8, условие 2).

Точки устранимого разрыва также можно отнести к точкам разрыва 1-го рода, т. к. в этих точках существуют конечные односторонние пределы функции y = f (x).

 

3. Если в точке разрыва x ₀ функции y = f (x) хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то x ₀ называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x).

 

Возвращаясь к вопросу нахождения вертикальных асимптот, можно сформулировать следующий признак существования вертикальной асимптоты:

если x ₀ – точка разрыва 2-го рода функции y = f (x) и хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке бесконечен, то прямая x = x ₀ является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x).