Рассмотрим сначала понятие предела функции в точке. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x 0 кроме, может быть, самой точки x 0. Будем рассматривать поведение f (x) при приближении независимой переменной x к точке x 0.
Графически понятие предела можно ввести следующим образом. Говорят, что функция y = f (x) имеет пределом число а в точке x 0 , если при движении по графику функции так, что абсцисса точки графика приближается к x 0 слева или справа, ордината этой точки приближается к значению a (рис. 3.2). При этом по графику приближаемся к точке А.
Обозначают этот факт так
.
Запись под обозначением «lim» называется условием предельного перехода. Здесь это условие 
.
Существует несколько математических определений предела функции в точке. Наиболее употребительным из них является определение по Коши, также называемое определением на языке 
.
Число a называется пределом функции y = f (x) в точке x 0 тогда и только тогда, когда для любого числа 
> 0 найдется такое число 
> 0, зависящее от 
, что для любого x,не равного x 0 и удовлетворяющего неравенству 
, следует 
.
Используя математические символы, это определение можно записать следующим образом:
.
Пусть задано некоторое число > 0. Из определения предела следует, что если число a является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , то при этом должно существовать число 
такое, что как только независимая переменная x попадает в вертикальную полосу от 
до 
, то значение функции f (x) попадает в горизонтальную полосу от 
до 
(см. рис. 5.2).
 |
Рис. 5.2. Предел функции в точке
Как видно из рис. 5.2, также существует число 
для 
. Таким образом, если для каждого малого положительного числа найдется такое число , то тогда число a является пределом функции y = f (x) в точке x 0.
Можно говорить об односторонних пределах функции f (x) в точке x 0 слева или справа. При определении таких пределов рассматриваются значения x, которые соответственно меньше или больше, чем x 0 .
Такие пределы обозначаются: слева 
и справа 
. На рис. 5.3 графически показан случай, когда существуют односторонние пределы функции y = f (x) слева и справа, но предел функции в точке x 0 не существует.
Из рис. 3.3 видно, что для функции y = f (x), представленной на графике,
; 
.
Для существования предела функции в точке x 0 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
.
Аналогично можно ввести определение предела функции и при стремлении независимой переменной x к бесконечности. Пусть функция y = f (x) определена при достаточно больших по абсолютной величине значениях независимой переменной x.
Тогда число a называется пределом функции y = f (x) в бесконечности тогда и только тогда, когда для любого числа > 0 найдется такое число S > 0, зависящее от , что для любого x, удовлетворяющего неравенству | x | > S, следует | f (x) – a | < .
Используя математические символы, это определение можно записать следующим образом:
.
Аналогично односторонним пределам в точке можно ввести односторонний предел функции в бесконечности при 
и при 
.
При рассматривают только такие значения x, которые больше S, а при — те, которые меньше – S.
Пределы 
и 
могут быть разными (рис. 5.4).
 |
Рис. 5.4. Пределы функции на бесконечностях разных знаков
Из рис. 3.4 видно, что 
.
