Понятие функции одной переменной

Рассмотрим сначала понятие переменной величины, или просто переменной.

Переменная величина х определяется множеством тех значений, которые она может принять в рассматриваемом случае. Это множество X назовем областью изменения значений переменной x.

Главным предметом изучения в математике является, однако, не изменение одной переменной самой по себе, а зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении. Во многих случаях переменные не могут принимать любую пару значений из своих областей изменения; если одной из них придано конкретное значение, то этим уже определяется и значение другой. Тогда первая из них называется независимой, а вторая – зависимой переменной.

Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y. Если при этом каждому элементу x X по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X задана функция y = f (x).

Ясно, что при этом переменная x является независимой переменной. Ее часто называют аргументом функции.

Переменная y является зависимой переменной и называется значением функции, или просто функцией.

Множество X называется областью определения функции, а множество Y — областью ее значений.

Существует ряд способов задания функции:

а) наиболее простой — аналитический способ, т. е. задание функции в виде формулы. Если область определения функции X при этом не указана, то под X подразумевается множество значений x, при которых формула имеет смысл;

б) графический способ. Этот способ особенно нагляден. Для функции одной переменной y = f (x) используется координатная плоскость (xy).

Совокупность точек y, соответствующих заданным значениям x, определяет график функции на плоскости (xy);

в) табличный способ. Он часто используется, когда независимая переменная x принимает лишь конечное число значений.

5.2. Основные свойства функций

Рассмотрим основные свойства функций, которые упрощают проведение их исследования:

Четность. Функция y = f (x) называется четной, если для любого значения x, принадлежащего области определения функции X, значение (– x) тоже принадлежит X и при этом выполняется

f (–x) = f (x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция y = f (x) называется нечетной, если для любого x X следует (– x) X и при этом

f (–x) = – f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция y = f (x) не является ни четной, ни нечетной, то ее часто называют функцией общего вида.

Монотонность. Функция y = f (x) называется возрастающей на некотором интервале (a, b), если для любых x ₁, x ₂ (a, b), таких,

что x ₁ < x ₂, следует, что f (x ₁) < f (x ₂), и убывающей, если f (x ₁) > f (x ₂).

Возрастающую и убывающую на интервале (a,b) функции называют монотонными на этом интервале, а сам интервал (a,b) — интервалом монотонности этих функций.

В некоторых учебниках такие функции называют строго монотонными, а монотонными называют неубывающую и невозрастающую на рассматриваемом интервале функции (вместо строгих неравенств для функций пишутся нестрогие).

Ограниченность. Функция y = f (x) называется ограниченной на интервале (a, b), если существует такое число С > 0, что для любого x (a, b) следует |f (x) | < C, и неограниченной в противном случае, т. е. если для любого числа C > 0 существует такой x (a, b), что |f (x) | > C. На рис. 5.1 показан график функции, ограниченной на интервале (a, b).

Аналогичное определение ограниченности можно дать для любого вида промежутка.

Периодичность. Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое число t, что для любого x X выполняется

f (x + t) = f (x).

Наименьшее из таких чисел t называется периодом функции и обозначается Т.

Характерным признаком периодичности функций является наличие в их составе тригонометрических функций.

5.3. Элементарные функции и их графики

К элементарным функциям относятся:

а) простейшие элементарные функции

1. Константа y = c, где с — постоянное для данной функции действительное число, одно и то же для всех значений x.

2. Степенная функция , где — любое постоянное действительное число, кроме нуля. Вид графиков функций при некоторых целых положительных ( = n), целых отрицательных ( = – n) и дробных ( = 1/ n) значениях представлен ниже.

-1

3. Показательная функция y = a^x (a > 0; a 1).

4. Логарифмическая функция y = log _a x (a > 0; a 1).

5. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

6. Обратные тригонометрические функции.

y = arcsin x y = arccos x

y = arctg x y = arcctg x

б) сложные функции

Кроме перечисленных простейших элементарных функций аргумента x к элементарным функциям также относятся функции, аргументами которых являются тоже элементарные функции, а также функции, полученные путем выполнения конечного числа арифметических действий над элементарными функциями. Например, функция

тоже является элементарной функцией.

Функции, аргументами которых являются не независимые переменные, а другие функции, называются сложными функциями или суперпозициями функций. Пусть даны две функции: y = sin x и z = log₂ y. Тогда сложная функция (суперпозиция функций) может иметь вид

z = log₂ (sin x).

Также можно ввести понятие обратной функции. Пусть y = f (x) задана в области определения X, а Y — множество ее значений. Выберем какое-нибудь значение y = y ₀ и по нему найдем x ₀ так, чтобы y ₀ было равно f (x ₀).Подобных значений x ₀ может оказаться и несколько.

Таким образом, каждому значению y из Y ставится в соответствие одно или несколько значений x. Если такое значение x только одно, то в области Y может быть определена функция x = g (y), которая называется обратной для функции y = f (x).

Найдем, например, обратную функцию для показательной функции y = a^x. Из определения логарифма следует, что если задано значение y, то значение x, удовлетворяющее условию y = a^x, находится по формуле x = log _a y. То есть каждому y из Y можно поставить в соответствие одно определенное значение x = log _a y.

Следовательно, функция x = log _a y является обратной для функции y = a^x на множествах X и Y. Так как принято у любой функции независимую переменную обозначать x, то в этом случае говорят, что y = f (x) и y = g (x) — обратные функции.

Графики функции y = f (x) и обратной ей функции y = g (x) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.