Дәріс. Көпжақтар қимасын салудың «құрама» тәсілі

Қиюшы жазықтықтың қандайда бiр түзуге немесе жазықтыққа параллель болып берiлген жағдайларын қарастырайық. Бұндай қималарды салу барысында құрама әдiс пайдаланылады. Құрама әдiстi пайдаланып көпжақтар қимасын салу барысында, салудың кейбiр кезеңдерiнде қиюшы жазықтық iзi әдiсiнде немесе iштей проекциялау әдiсiнде баяндалған тәсiлдер қолданылса, ал басқа кезеңдерiнде “Түзулер мен жазықтықтардың параллелдiгi” тарауында оқытылған мынадай теоремалар жиi қолданылады:

1) Егер параллель екi жазықтықты үшiншi жазықтық қиятын болса, онда қиылысу түзулерi параллель болады.

2) Егер қиылысатын екi жазықтықтың әрқайсысы қандайда бiр түзуге параллель болса, онда олардың қиылысу түзуiде сол түзуге параллель болады.

3) Егер жазықтық берiлген жазықтыққа параллель түзу арқылы өтiп және ол жазықтықпен қиылысса, онда олардың қиылысу сызығы берiлген түзуге параллель болады.

Көпжақтың бiр нүктесi арқылы өтiп берiлген екi түзуге параллель болатын жазықтықпен қиғындағы қимасын салуға тоқталайық.

1-есеп. АВСD тетраэдрiнiң АВ қырына тиiстi Р нүктесi арқылы өтiп, АD және ВС қырларына параллель болатын жазықтықпен қиғандағы қиманы салу (103, а -сурет.)

Шешуi. 1) 3-теоремаға сәйкес АD қыры қиюшы α жазықтығына параллель болғандықтан, АD қыры арқылы өтетiн (АВD) жазықтығы мен α жазықтықтарының қиылысу сызығы АD түзуiне параллель болады. Олай болса, Р нүктесi арқылы АD қырына параллель түзу жүргiзiп, оның ВD қырымен қиылысу нүктесiн N арқылы белгiлеймiз (103, ә - сурет).

2) Осы 3-теорема негiзiнде Р нүктесi арқылы ВС қырына параллель түзу жүргiзiп, АС қырымен қиылысу нүктесiн Q арқылы белгiлеймiз.

3) Сол сияқты Q нүктесi арқылы АD (РN) кесiндiсiне параллель түзу жүргiземiз. Бұл түзудiң СD қырымен қиылысу нүктесi қиманың төртiншi төбесiн анықтайды, оны R нүктесiмен белгiлейiк.

4) R мен N нүктелерiн кесiндiмен қосамыз. Алынған PQRN параллелограмы iзделiндi қима.

 

 

 

Ендi көпжақтың бiр нүктесi арқылы өтiп, берiлген жазықтыққа параллель жазықтықпен қиғындағы қиманы салуға тоқталайық.

2-есеп. Табаны трапеция болатын призманың АD қырына тиiстi Р нүктесi арқылы өтетiн және АВ₁D₁ жазықтығына параллель болатын жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.

Шешуi.

1) Призманың табандары өзара параллель болғандықтан Р нүктесi арқылы өтiп, (АВ₁D₁) жазықтығына параллель қиюшы жазықтық табандарынан параллель түзулер қияды (1-теорема) және ол түзулер В₁D₁ кесiндiсiне параллель болады. Олай болса, P нүктесiнен В₁D₁ түзуiне параллель түзу жүргiзiп, оның АВ қырымен қиылысу нүктесiн К арқылы белгiлеймiз (104-сурет).

2) Қиюшы жазықтық пен оған параллель АВ₁ түзуi арқылы өтетiн АВ₁В жазықтығы, осы АВ₁ түзуiне параллель түзу бойымен қиылысады (3-теорема). Олай болса, осы теорема негiзiнде К нүктесi арқылы АВ₁ түзуiне параллель түзу жүргiзiп, оның ВВ₁ қырымен қиылысу нүктесiн L арқылы белгiлеймiз.

Осы сияқты P нүктесi арқылы АD₁ түзуiне параллель түзу жүргiзiп, оның DD₁ қырымен қиылысу нүктесiн Q арқылы белгiлеймiз (3-теорема).

3) Қиюшы жазықтық призманың өзара параллель ВВ₁С₁С және АА₁D₁D жақтарынан параллель түзулер қияды (1-теорема). Олай болса, L нүктесi арқылы PQ кесiндiсiне параллель түзу жүргiзiп, оның В₁С₁ қырынан қиятын нүктесiн М арқылы белгiлеймiз.

4) Осы теоремаға сәйкес, М нүктесi арқылы РК кесiндiсiне параллель түзу жүргiзiп, оның С₁D₁ қырымен қиылысу нүктесiн N арқылы белгiлеймiз.

5) NQ кесiндiсiн жүргiземiз. Алынған PKLMNQ алтыбұрышы iзделiндi қима.

 

Көрiп отырғанымыздай бұл салу барысында 1-3 теоремалармен қатар, түзу мен түзудiң, түзу мен жазықтықтың және сондай-ақ жазықтық пен жазықтықтың параллельдiк белгiлерi қолданылды.