Параллель проекцияның анықтамасы және қасиеттері

Кеңістікте α жазықтығы және одан тысқары жатқан А нүктесі берілген. α жазықтығына параллель емес қандай да бір ℓ бағытын таңдап аламыз және оны проекциялау бағыты деп атаймыз. Берілген А нүктесі арқылы ℓ бағытымен (векторымен) бағыттас түзу жүргіземіз, осы түзудің α жазықтығымен қиылысу нүктесін А арқылы белгілейік (66-сурет). А нүктесі А нүктесінің α жазықтығындағы проекциясы деп аталады. Сондай-ақ α жазықтығы - проекция жазықтығы; АА түзуі – проекциялаушы түзу деп аталады.

Параллель проекциялаудың анықтамасынан нүктенің проекциясы нүкте болатындығын көреміз.

Кеңістіктегі қандай да бір сызықтың параллель проекциясы деп проекция жазықтығындағы осы сызықтың барлық нүктелерінің проекцияларының геометриялық орнын айтады.

1-теорема: Түзудің проекциясы түзу болады.

Дәлелдеу: А және В нүктелері АВ түзуінің сәйкесінше А және В нүктелерінің проекциясы болсын (67-сурет).

АВ түзуінде жататын С нүктесінің проекциясы - С нүктесі А В түзуіне тиісті емес болсын. Онда АА түзуіне параллель СС проекциялаушы түзуі А АВВ жазықтығынан тысқары жатады. Ал А АВВ жазықтығында С нүктесі арқылы АА түзуіне параллель СС түзуін жүргізуге болады. Олай болса, С нүктесі арқылы АА түзуіне параллель екі СС және СС түзулері жүргізілді, ал бұл параллельдік аксиомасына қайшы. Демек, С нүктесінің проекциясы А В түзуіне тиісті болады. С нүктесі АВ түзуінен еркінше таңдалып алынғандықтан, АВ түзуінің кез келген нүктесінің проекциясы А В түзуіне тиісті болады.

Салдар: Түзудің проекциясын салу үшін, оның екі нүктесінің проекциясын анықтау жеткілікті.

2-теорема: Параллель түзулердің проекциялары да өзара параллель болады.

Дәлелдеу: АВ және СD түзулері параллель (68-сурет). Проекциялау бағытын таңдап алып, АА , ВВ , СС және DD проекциялаушы түзуін жүргіземіз. АВ║СD, АА ║ СС болғандықтан сәйкесінше қиылысушы АВ, АА және СD, СС түзулері арқылы өтетін А АВВ және С СDD жазықтықтары өзара параллель. Осы параллель жазықтықтардың α проекция жазықтығымен қиылысу түзулері сәйкесінше А В және С D параллель түзулері болады. Мұндағы А В ║С D түзулері сәйкесінше АВ║СD түзулерінің проекциялары.

3-теорема: Бір түзуде немесе параллель түзулер бойында жатқан кесінділердің ұзындықтарының қатынасы, олардың проекцияларының қатынасына тең.

Дәлелдеу: АD түзуінде жатқан АВ және СD кесінділерінің проекциялары сәйкесінше А В және С D кесінділері болады (69-сурет).

А АDD - проекциялаушы жазықтығын қарастырамыз. Бұл жазықтықта АD, А D қиылысушы түзулері АА , ВВ , СС және DD параллель түзулерімен қиылған.

Планиметрия курсынан белгілі = = , яғни = . Соңғы қатынастан дәлелдеу қажетті = теңдігін аламыз.

Егер АВ және СD кесінділері параллель түзулерде жатса, онда = қатынасының орындалатындығын осыған ұқсас оңай дәлелдеуге болады.

Осы жасалған тұжырымдардан параллель проекциялаудың мынадай қасиеттері алынады:

1. Қандай да бір сызыққа тиісті нүктенің проекциясы осы сызықтың проекциясына тиісті болады.

2. Түзудің проекциясы түзу болады.

3. Параллель түзулердің проекциялары да параллель болады.

4. Проекциялауда бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жатқан кесінділердің қатынасы сақталады.

Бұл тұжырымдалған қасиеттер берілген түпнұсқаның проекциясын алу үшін, оның әрбір нүктесін тікелей проекциялау қажеттілігінен құтқарады. Жоғарыда анықталғандай түзудің проекциясын алу үшін, оның екі нүктесінің проекциясын анықтау жеткілікті болса, жазық фигураның проекциясын алу үшін түпнұсқаның бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктесін тікелей проекциялау жеткілікті болады. Бұл үш нүкте базистік нүктелер деп аталады. Ал осы үш нүкте арқылы анықталатын үшбұрыш базистік үшбұрыш деп аталады.

Олай болса фигураның (жазық немесе кеңістіктік) проекциясын алу үшін, оның базистік нүктелерінің проекциясы анықталғаннан кейін, басқа нүктелерінің проекциясы тұжырымдалған 1 -4 қасиеттер арқылы осы проекция жазықтығында салынады.