Уравнения колебаний двухмассовой системы удовлетворяются как решениям
так и решениям
тогда подставляя получим соотношения
или
Так неизвестными являются функции х1 и х2 то заменим их двумя новыми функциями f1(t) и f2(t) согласно равенствам
здесь а11 и а12 – произвольные числа, например а11 = а12 =1, с которыми а21 и а22 связаны заданными соотношениями.
Подставив указанные равенства в исходную систему и используя свойство ортогональности собственных форм колебаний, в итоге можно получить дифференциальные уравнения для каждой из функции f1 и f2
Обозначив правые части через F1· 
и F2· , то 
или возвращаясь к х1 и х2 имеем:
Пример Найти амплитуды перемещения всех масс и построить эпюру МИЗГ. IСЕЧ.БАЛК. = 35520 см4; E = 2,1·106 кгс/см2; l = 400 см; Q = 4000 кгс;
m = 
= 4,08 
; P = 600 кгс; ω = 100 1/сек. Найти единичные перемещения δ11, δ12, δ21, δ13, δ22, δ33.
δ11 = δ33 = 75 К, δ22 = 243 К, δ21 = δ12 = δ32 = δ23 = 117 К, δ13 = δ31 = 51 К.
см/кгс
δ11 = δ33 = 5,53·10-6 см/кгс; δ22 = 17,92·10-6 см/кгс;
δ21 = δ12 = δ32 = δ23 = 8,64·10-6 см/кгс; δ13 = δ31 = 3,76·10-6 см/кгс.
Решая получим а1 = а3 = - 0,064 см, а2 = - 0,128 см. Эти перемещения больше чем в 10 раз превосходят статические перемещения
см
см
что объясняется близостью частоты возмущения ω к собственной частоте Р1.
сек-1
Инерционные силы по амплитуде равны
кгс;
кгс;
кгс
Продольные колебания стержней при действии гармонического возмущения
u(x, t) = U(x)·sinωt – вынужденные колебания
U(x) – определяемая функция колебания стержня
- дифференциальное уравнение колебаний
- формула решения дифференциального уравнения.
C, D – константы, определяемые из начальных условий.
U = 0 закрепленный конец;
к концу приложена сила 
свободный конец
Пример
х = 0; U = 0; при х = l
Подставляя в выражение U получим 
; D = 0
;
при ω = 0 
и 
статическое перемещение
при 
т.е. 
резонанс т.к. 
Изгибные колебания балок при гармоническом возбуждении
Прогиб балки будем искать в виде
и надо найти 
При постоянной распределенной массе m= const
уравнение изгибных колебаний балки
тогда 
- решение уравнения
S, T, U, V – функции Крылова
с1, с2, с3, с4 – ищем из краевых условий
Пример
; 
; 
; 
из первых условий с1 = с2 = 0;
из 3-го и 4-го условий 
|
с4 = - 
Отсюда 
или подставляя функции Крылова
при chkl·coskl+1 =0 резонанс; tgkl = thkl конец стержня будет неподвижен явление антирезонанса.
Линейные системы с одной степенью свободы при действии сил неупругого сопротивления
Вязкое сопротивление 
основное уравнение имеет вид
Общее решение принимает вид
- частота колебаний
Гармоническая вынуждающая сила
где
ни при каких значениях ω.
Фазовый угол γ сдвиг между силой и перемещением.
Сила на основание при вязком сопротивлении
;
отсюда 
μ* - коэффициент передачи силы
