Продольные колебания стержней.

Основное уравнение и его решение

 

Пусть u – продольное перемещение текущего сечения стержня при колебаниях, оно зависит от местоположения сечения (координата х) и от времени t, u = u(х, t).

Перемещение близкого сечения равно , абсолютное удлинение элемента dx равно , относительное удлинение .

Тогда слева справа

Масса элемента dx будет и в проекции на ось х уравнение движения принимает вид

=

Считая, что F = const и т.к. то подставляя

=

Принимаем подставляя

отсюда два уравнения

Т = ;

 

 

Частотное уравнение, определяющее величину Р, составляется путем использования граничных условий и имеет бесконечное число корней, следовательно и число собственных частот Р_n каждой соответствует своя Т_n (t) и своя функция Х_n (х).

Полное решение получается путем наложения всех частных решений

Х = 0

Х' = 0

с₀ ·Х = Е·F·X'

m₀·p²·X = Е·F·X'

 

Пример определим собственные частоты консольного стержня

Граничные условия

Х = 0 при х = 0; Х' = 0 при x = l

D = 0; ;

- частотное уравнение

Корни

при n = 1

n = 2

 

 

7.4.2. Вынужденные колебания

Линейные системы с одной степенью свободы без неупругих сопротивлений

Рассмотрим одномассовую систему под действием внешней силы P(t) и силы упругого сопротивления сх (рис.7.).

рис. 7.

уравнение движения

- стандартное уравнение вынужденных колебаний

Решение полученного неоднородного уравнения следует искать в виде суммы решений соответствующего уравнения без правой части (свободные) колебания и какого-либо частного решения заданного уравнения.

Воспользуемся общим методом вариации произвольных постоянных.

Пусть постоянные С₁ и С₂ в решении однородного уравнения зависят от t.

Запишем систему

из системы

интегрируя

В₁, В₂ – константы

Общее решение задачи запишется

Если

	свободные колебания		вынужденные колебания

 

 

Если то

Интегрируя по частям

и принимая с = , получим

 

Кинематическое возбуждение

Причиной колебаний служат заданные колебания точки крепления пружины и основанию по закону .

тогда можно принять и получаем стандартную форму записи.

Решение

при f(0) = 0

 

Действие линейно возрастающей силы

Полагая получим из предыдущей

 

График движения есть сумма синусоидальной и линейной функции.

Чем больше а, тем существеннее синусоидальные колебания.

 

Колебания подрессоренного груза

 

Z – профиль дороги; h – высота профиля; γ – параметр кривизны дороги.

Пусть при опора проходит начало неровности - закон движения опорной точки.

по предыдущем

закон движения груза

Колебания груза относительно опорной точки

интегрируя, получим

при ; и

при или и