Замена переменных в двойном интеграле.

Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j₁(x) до j₂(х).

Положим х = f(u, v); y = j(u, v)

 

Тогда dx = ; dy = ;

 

 

т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0.

 

, т.е.

пожставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем:

 

Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций f(u, v) и j(u, v).

 

(Якоби Карл Густав Якоб – (1804-1851) – немецкий математик)

 

Тогда

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид (при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

Двойной интеграл в полярных координатах.

Воспользуемся формулой замены переменных:

При этом известно, что

В этом случае Якобиан имеет вид:

 

 

 

Тогда

Здесь t - новая область значений,

 

Тройной интеграл.

 

При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

 

 

 

Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

 

 

Здесь х₁ и х₂ – постоянные величины, у₁ и у₂ – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z₁ и z₂ – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

 

 

Пример. Вычислить интеграл

 

Замена переменных в тройном интеграле.

 

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла.

Можно записать:

 

 

Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе.

Рассмотрим эти преобразования подробнее.

Цилиндрическая система координат.

 

z

 

 

P

 

z

 

q x

r

 

 

y

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

 

Итого: