Квадраттық теңдеулер есептері

Берілген түбірлері бойынша квадрат теңдеулерді құруға арналған көптеген есептер де симметриялық көпмүшелер көмегімен ойдағыдай шешіледі. Екі мысалды қарастырайық.

1. квадрат теңдеуі берілген; түбірі осы теңдеудің квадрат түбірі болып табылатын жаңа квадрат теңдеу құру керек.

Бұл есепті шығару үшін осы теңдеудің түбірін және арқылы іздеп отырған теңдеудің түбірін - және арқылы, ал коэффиценттерін - және арқылы белгілейміз. Виет теоремасы бойынша:

 

және дәл осылайша:

Алайда, есептің шарты бойынша және сондықтан да

 

Осылайша, ізделіп отырған квадрат теңдеудің түрі ˗

2. Түбірлері , болатын квадрат теңдеу құру керек. Мұнда квадрат теңдеудің түбірі.

Бұл есепті шығару үшін қайтадан Виет формуласын қолданамыз, ол бойынша:

, .

Осы формула бойынша басқа жағынан шығатыны:

 

 

16 беттегі кестені қолдана отырып, симметриялық көпмүшелерді мен арқылы мәнерлеп, Онай түседі. Кейбір кездері мағынасын мен z алмастырған пайдалы болады.

Мысалдарды қарастырайық:

1. Егер a+b болғанда a және b нақты сандар болса, онда , ,

теңсіздігін дәлелдеу керек:

Дәлелдеу үшін қарапайым және симметриялық көпмүшелерін енгіземіз. Одан алатынымыз:

Болғандықтан, ал есеп шарты бойынша , енді яғни . Алынған теңсіздікті сол пікірді қолдансақ

табамыз.

a+b n- еркін натурал сан болса, онда

дәлелдеуге болады.

2. Егер Егер a+b болғанда a мен b нақты сандар болған жағдайда

екенін дәлелдеуге болады.

Дәлелденетін алдыңғы мысалда орнатылған теңсіздік ,

Теңсіздігінің кездесоқ жағдайы болып табылады. Онда біз бұл теңсіздікті алу үшін бір амалды екі рет қолдандық: . Теңсіздігін қолдандық: Бірақ егер бұл тәсілді қолданбасақ, онда қажетті теңсіздікті тікелей табуға болады:

есеп шарты бойынша теңсіздігі дәлелденді.

Есептер

Келесі теңдеулер жүйелерін шешу керек:

 

2.

3. 4.

6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

Келесі теңдеулерді шешу керек:

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28. + = 1

29. x+

30. x =30

31. x

32.

33.

34.

35. - =1

36.

37. x+ =

38.

39. - =1

40.

41. - =

42. - =

43. =

44. - =

45. - =2

46. -

41-42 беттердегі есептердің шешулері:

1. = u, = v ауыстырсақ, өаралып отырған жүйе симметриялық түрге ие болады:

белгісіздерін енгізсек, жүйесін аламыз, одан . Бұл бізге берілген жалғыз ғана шешімді береді u=v= . Бұдан бастапқы жүйе үшін шешім шығады: x = , y = .

2. y=-z ауыстырғанда жүйенің симметриялық түрі:

.

 

белгісіздерін енгізсек, келесі жүйесін аламыз:

 

Cоңында бұдан бастапқы жүйенің төрт шешімін аламыз:

3. y=-z ауыстырғанда жүйенің симметриялық түрі:

Көмекші жүйе:

Оның шешімі: Бұдан симметриялық жүйенің екі шешімін аламыз:

:

4. y=-z ауыстырғанда жүйенің симметриялық түрі:

 

Көмекші жүйе:

Оның шешімі:

5. y=-z ауыстырғанда жүйенің симметриялық түрі:

Бұл жүйенің төрт шешімі болады:

6. =z ауыстырғанда жүйенің симметриялық түрі:

Бұл жүйенің төрт шешімі болады:

7. ауыстырғанда жүйенің симметриялық түрі:

Көмекші жүйе:

Оның шешімі:

Бізге тек u, v оң шешімдері жарайтынын байқау керек, өйткені түбірдің арифметикалық мәндерін көрсету қажет. Сондықтан да

сандары оң болуы тиіс. Осыған орай бізге көмекші жүйенің тек бірінші шешімі ғана жарайды. Ол симметриялық жүйенің екі шешімі береді:

Нәтижесінде, бастапқы жүйенің екі шешімін аламыз:

8. ауыстырғанда жүйенің симметриялық түрі:

Көмекші жүйе:

Біріншіден теңдеуден мәнін тауып, оны екінші теңдеуге қойсақ алатынымыз:

Бұл қатысты квадрат теңдеу. Оны шешу барысында екі шешімді аламыз:

Комплексті болып табылатын тағы төрт шешімді алып тастаймыз, өйткені оң сандар, демек де оң сандар болуы тиіс). Осы шешімдердің әрқайсысы жоғарыда жазылған симметриялық жүйенің u,v екі шешімдерін алуға мүмкіндік береді: ол үшін

()

u,v оң шешімдері жарайды, сондықтан оның дискриминанты оң болуы тиіс:

. Алайда екінші шешім бұл жағдайға жағдайға сәйкес келмейді: оған

=

(а саны оң, өйткені Бірінші шешім осы жағдайға сәйкес келу үшін:

болуы тиіс, бұдан b қатынасы орындалуын тез табамыз.

() теңдеуін шешу кезінде симметриялық жүйенің екі шешімін табамыз:

Cоңында, бастапқы жүйенің шешімі мынадай:

ауыстырғанда жүйенің симметриялық түрі:

Көмекші жүйе:

Оның шешімі:

u = , u = болғандықтан болуы тиіс және сондықтан да екінші шешім жарамсыз. Бірінші шешім симметриялық жүйенің екі шешімін береді:

Осы шешімдердің екіншісі жарамсыз, өйткен v жағдайына сәйкес келмейді. Тек бірінші шешім қалып тұр. Ол бізге бастапқы жүйенің екі шешімін береді.

10. Жүйені қарастырғанда x,y сандарының нөлден айырмашылы бар екенін және бәрдей белгісі бар екенін көруге болады. Егер ол екеуі де оң болса, алмастырсақ болады. Екі жағдайда да бастапқы жүйе көрсетілген алмастырумен симметриялық түрге келеді:

Көмекші жүйе:

Бірінші теңдеудегі мәнін екінші теңдеуге қойсақ 0

Квадрат теңдеуін аламыз. Осылайша, көмекші жүйенің төрт шешімін табамыз:

оң сандар болғандықтан, , болуы тиіс, яғни бізге бұл шешімдердің тек біреуі ғана жарайды. Ол бізге симметриялық жүйенің екі шешімін береді:

Бастапқы х,у белгісіздерге өтсек ( немесе алмастыру арқылы), бастапқы жүйенің төрт шешімін аламыз:

x,y сандарының бірдей белгілері болуы тиіс. Егер ол екеуі де оң сандар болса, қоямыз, ал егер екеуі де теріс болса, онда болады. Бірінші жағдайда келесі симметриялық жүйені аламыз:

Екінші теңдеуден а- саны теріс емес екенін көруге болады.

Көмекші жүйе:

Бірінші теңдеудегі мәнін екінші теңдеуге қойсақ

Кубтық теңдеуді аламыз. Бұдан көмекші жүйенің алты шешімін табамыз. , шешімдердің екеуі орындайды:

Бұл шешімдердің екінші u мен v үшін комплексті мағына береді. Бірінші шешім симметриялық жүйенің келесі екі шешімдерін береді:

Нәтижесінде бастапқы жүйенің (a екі шешімін табамыз:

х пен у оң болғанда, келесі жүйені аламыз:

Екінші теңдеуден а саны теріс екені көрініп тұр. Көмекші жүйе:

:

Бірінші теңдеудегі мәнін екінші теңдеуге қойсақ 4 - 3 0 аламыз. Бұдан жағдайын орындайтын көмекші жүйе екі шешімін табамыз:

 

Бұл шешімдердің әрқайсысы симметриялық жүйенің екі шешімін береді:

Бастапқы белгісіздерге оралсақ (a < 0 болғанда) бастапқы баситапқы жүйенің төрт шешімдерін табамыз:

12. Бірінші теңдеуден x,y – сандарының бірдей белгісі болғандықтан олар оң сандар (өйткені x+y= 7+ ). алмастырғанда жүйе симметриялық түрге ие болады:

жағдайын оның екі шешімі қанағаттандырады:

Осылайша бастапқы жүйе келесі екі шешімге ие болады:

13.Бірінші теңдеуден x,y сандарының бірдей белгілірі бар екенін көруге болады. Ол екеуі де оң сандар, өйткені басқа жағдайда(яғн болғанда) 14= болар еді. aлмастырғанда жүйе келесі симметриялық түрге келеді:

Бұл жүйені шеше отырып шартын қанағаттандыратын екі шешім табамыз:

Осылайша, бастапқы жүйе келесі екі шешімге ие болады:

14. алмастырсақ жүйе симметриялық түрге келеді:

Бұл жүйені қарастырып қойғанбыз(32 беттегі 1 мысал)

Бұдан бастапқы жүйенің екі шешімін аламыз:

x,y сандарының бірдей белгілері болуы тиіс екні белгілі. Сондықтан aлмастыруға болады. Екі жағдайда да бастапқы симметриялық түрге келеді:

Көмекші жүйе:

Екінші теңдеуден тауып және оны бірінші теңдеуге қойсақ, биквадраттық теңдеу аламыз. Енді көмекші жүйенің шешімін табу қиын емес: алайда оның биреуі ғана керекті шартын қанағаттандыра алады:

Ақыр соңында симметриялық жүйенің екі шешімін табамыз:

Ал бұдан бастапқы жүйенің бастапқы төрт шешімін табамыз:

алмастырсақ жүйені симметриялық күйге акеледі:

Көмекші жүйе:

Оның шешімі: Бұдан симметриялық жүйенің екі шешімін аламыз:

Осылайша бастапқы жүйенің екі шешімі бар:

17. алмастырсақ, жүйе симметрилық түрге келеді:

Көмекші жүйе:

алып тастап теңдеуін аламыз,бұдан көмекші жүйенің екі шешімін табамыз:

Бұл шешімнің екіншісіне симметриялық жүйенің комплексті шешімдерді сәйкес келеді, біріншісіне екі нақты шешім береді:

Осылыайша, бастапқы жүйенің екі шешімдері болады:

18. орнын алмастырсақ, жүйе симмметриялық түрге келеді:

Көмекші жүйе:

Оның екі шешімі бар:

оның бірінші шешіміне симметриялық жүйеніңнақты шешімдері сәйкес келеді:

ал екіншісіне комплекстік шешімдер сәйкес келеді. Осылайша, бастапқы жүйенің келесі екі шешімдері бар формулалар бойынша алынған:

орнын алмастырсақ жүйе симметриялық күйге келеді:

Көмекші жүйе:

Оның тек бір нақты шешімі бар Осылайша симметриялық жүйенің келесі екі шешімдері болад

ал бастапқы жүйенің келесі шешімі бар:

сандары бір белгілі және оң сандар екені белгілі. Сондықтан деп орнын алмастырсақ болады. Бұл алмастыру жүйені симметриялық түрге әкеледі:

Көмекші жүйе:

мәнін екінші теңдеуге қойсақ, кубтық теңдеуді аламыз. Осылайша, көмекші жүейнің жағдайын орындайтын тек бір ғана шешімі болады:

Бұдан симметриялық жүйенің екі шешімін табамыз:

Және бастапқы жүйенің екі шешімін табамыз:

21. орнын алмастырсақб жүйе симметриялық түрге келеді:

Көмекші жүйе:

алып тастап, кубтық теңдеуін аламыз. Осылайша, болған жағдайда көмекші жүйенің бір ғана нақты шешімі болады:

Бұдан симметриялық жүйенің екі шешімін аламыз:

Олар егер -сандардыбір белгілі және болса, басқаша айтқанда болғанда нақты болады.Осылайша және болғанда бастапқы жүйенің келесі екі шешімі болады:

Егер бірақ болса көмекші жүйенің (онда бастапқы жүйенің де) шешімі болмайды Егер болса, онда көмекші жүйе қатынасына келеді, ол симметриялық жүйенің комплексті шешіміне сәйкес келеді. Осылайша болғанда бастапқы жүйенің шешімі болмайды.

Ақыр соңында, болғанда көмекші жүйе келесі түрге ие болады:

Бұл жүйенің болғанда шешімі болады. Оның шешімі мәні мен кез-келген мәні болады. Сондықтан болғанда жағдайын орындайтын кез-келген сандары бастапқы жүенің шешімдерін береді.

22. деп есептейік. Сонда болады және біз теңдеудің келесі жүйесін аламыз:

Көмекші жүйе:

алып тастасақ, кубтық теңдеуін аламыз. Енді біз көмекші жүйенің үш шешімін оңай табамыз:

Енді айта кетер жағдай яғни . Сондықтан немесе

Осылайша, бастапқы теңдеудің алты шешімін аламыз:

 

 

23. берілген.Сонда болады және теңдеудің келесі жүйесін аламыз:

Бұл жүйенің шешімі (тек u мәнін жазамыз):

Бастапқы теңдеудің шешімі енді төртінші квадраттық теңдеудің шешімдерінен шығарады. Осылайша, бастапқы теңдеудің сегіз шешімі болады:

24. болсын дейік. Сонда болады және біз теңдеудің келесі жүйесін аламыз:

Бұл жүйенің келесі алты шешімдерін табамыз (тек мәнін жазамыз):

Бастапқы теңдеудің шешімі алтыншы квадраттық теңдеудің шешімдері шығады. Осылайша бастапқы теңдеудің 12 шешімдерін табамыз:

25. болсын дейік. Сонда болады және келесі симметриялық жүйеге аламыз:

Сонымен бастапқы теңдеудің келесі төрт шешімдерін табамыз:

26. болсын дейік. Сонда болады және біз келесі симметриялық жүйені аламыз:

болғанда осы жүйенің төрт шешімдерін аламыз ( мәнін ғана жазамыз):

Ақырында, болғандықтан бұдан бастапқы теңдеудің келесі төрт шешімін аламыз:

Егер болса, онда бастапқы теңдеуі – тің кез-келген мәні орындайды.

27. өрнегі барлық нақты кезінде оң болғандықтан, жазылған теңдеу келесі теңдеуге эквивалентті:

болсын делік. Сонда болады, ал жазылған теңдеу түріне ие болады. Осылайша симметриялық жүйені аламыз:

Сонымен осы жүйенің төрт шешімін аламыз(тек мәнін жазамыз):

саны бұрыс болмайтындықтан, түбір астындағы өрнек оң болуы керек. Демек, түбір астында «+» белгісін қою керек және орындалуы тиіс, бұдан оңай табамыз. Ары қарай:

Теңсіздігі қатынасына тепе-тең екенін оңай көруге боладыю Осылайша,

Өрнегі кезінде дұрыс болады

Ал

мәні кезінде дұрыс болады. Квадратқа салсақ, бастапқы теңдеудің екі шешімін табамыз:

аралығында:

аралығында:

.

28. болсын делік.Сонда болады және біз симметриялық жүйені аламыз:

Оның шешімі:

+x қатынасы бастапқы теңдеулердің екі шешімін береді:

, .

29. y = болсын делік. Сонда симметриялық жүйені аламыз:

Көмекші мүше:

Оның шешімі:

Оның екіншісі -тің комплекстік мәнін береді, оның бізге қажеті жоқ. Бірінші шешім симметриялық жүйенің екі шешімін береді:

Осылайша, бастапқы теңдеудің екі түбірі бар: .

30. деп есептесеқ,келесі симметриялық жүйені аламыз:

Бұл жүйенің тек нақты мәндерін ғана алып, бастапқы теңдеудің екі шешімін табамыз: .

31. Берілгені = y, яғни 19 - x = xy + y. Одан симметриялық жүйені аламыз:

Көмекші жүйе:

Оның шешімі:

Бұл шешімдердің әрқайсысы симметриялық жүйенің екі шешімін береді:

Осылайша, бастапқы теңдеудің келесі төрт шешімдері болады:

,

Теңдеудің екі бөлігін кубқа келтірсек, аламыз. болғанда симметриялық жүйені аламыз:

Көмекші жүйе:

Оның шешімі:

Бұл шешімдердің тек біреуіне ғана симметриялық жүйенің нақты шешімі сәйкес келеді:

О