Тұтастық теоремасы

Егер х,у арқылы симметриялық копмүшеліктер берілсе, онда оларды мен арқылы өрнектеу қиын емес екенін көріп отырмыз.Жоғарыда көрсетілген негізгі теореманың дәлелдеуі кез келген f(x,y)симметриялық көпмүшелерді мен элементарлық симметриялық көпмүшелер арқылы өрнектейтін амалдарды көрсетіп берді.Әрине, бұл жағдайда сұрақ туындайды: мен арқылы f(x,y) көпмүшелерді өрнектейтін басқа да амалдары табылмай ма? Бұл мүмкін емес: мен арқылы f(x,y) симметриялық көпмүшелерді өрнектеу үшін қандай да болмасын жолдарын алсаmқ, барлық уакытта да нәтижесі бір. Басқаша айтқанда, келесі теорема шығады.

Тұтастық теоремасы. Егер , және , көпмүшелері алмастырғанда f(x,y) симметриялық көпмүшесіне айналса, онда олар сәйкес келеді: , = , .

Тұтастық теоремасының тек дербес жеке жағдайын, атап айтқанда f(x,y)=0 жағдайын дәлелдеу жеткілікті. Басқаша айтқанда, келесі салдарды дәлелдесек жеткілікті: (А) Егер Ф(, ) көпмүшелерін орын ауыстырғанда нөлге айналса, онда ол нөлге теңбе – тең болады.

Тұтастық теоремасы (А) салдардан туындайтынын көрсетейік. , және , көпмүшелерін деп ауыстырғанда бірдей нәтиже береді: Сонда Ф(, )= , ) көпмүшені солайша ауыстырғанда нөлге айналады:

Сондықтан,(А) салдары дұрыс болса, онда Ф(, )=0 және демек,(, )= , ).

(А)салдарын дәлелдеу үшін бізге екі айнымалы көпмүшенің жоғарғы мүшесі мәні қажет. х кезіндегі көрсеткіштерді салыстыру арқылы анықталады.Басқаша айтқанда, мүшесінен болған жағдайда үлкен болады деп есептейді. Мысалы, -ден үлкен, ал -тен үлкен.Егер -нен үлкен, ал мүшесінен үлкен болса, онда үлкен екені белгілі.

Варинг формуласы

(1) формуланы (15 бет) қолданып, дәрежелі қосындыларды есептеп шығару әдісінің бір кемшілігі бар: үшін өрнекті табу үшін алдын ала барлық қосындыларды есептеу қажет. Ал кейбір уақытта оның бізге қажеті жоқ, мен арқылы үшін өрнекті бірден алңымыз келеді. Осыған лайық формуланы 1779 жылы ағылшын математигі Эдуард Варинг ашты.Бұл келесі формула

Бұл формулада қосылмалардың құрылу заңын оңай түсінуге болады.Өйткені дәрежелі қосындысы х және у өрісіндегі k дәрежесінің көпмүшесі болғандықтан, (2) формуланың ыдырауына тек к дәрежелі көпмүше ғана енеді.Алайда бірінші дәрежелі көпмүше, ал – екінші дәрежелі бірмүше. Егер дәрежесіне қойсақ, онда х және у қатысты 2m дәрежелі өрнегі шығады. үлесіне тек k-2m дәрежесі қалады. Сондықтан үшін өрнек түріндегі қосылмалардан жасалған, мұнда m нөлден асып кетпейтін үлкен бүтін санға айналады. коэффициенті алымында (k-m-1)! тұрған бөлшек болып табылады, ал бөлігін m! және (k-2m) сандарының туындысы болып табылады. Одан басқа, коэффициенттері кезек-кезек белгілерін ауыстырады. кезінде коэффициент сол бір заң бойынша құрылғанын атап кетейік. Бұл қосылмаға нөлдік дәрежеде енеді, ал бірақ 0!=1 деп есептеледі. Сондықтан да (2) формуланың оң бөлігіндегі қосылмалар бір тәсілмен алуы мүмкін.

өпнегінде m санына тізбектеп 0,1,2,... мәнін k-2m көрсеткішіне дейін, беру керек.

Математикада барлық қосылмалары бір біріне ұқсас қосындылар жиі кездеседі.Дәлірек айтсақ, олар m санының жеке мәні кезінде, m санына тәуелді кейбір өрнегінен шығады.Мұндай қосындыларды түрінде жазу қабылдагған, қосымша m санының қандай мәнін қабылдағанын көрсету қажет.Мысалы, егер m саны 0- ден p дейінгі бүтін мәндерді білдірсе, онда бұл қосындыны түрінде жазады.

Басқаша айтқанда,

Осы белгілерді қолдана отырып (2) формуланы қайта жаза аламыз:

мұнда p- асып кетпейтін ең үлкен бүтін сан.

Варинг формуласының көмегімен (16) беттегі кестеде берілген дәрежелі қосындысына арналған формуланы қайтадан оңай алуға болады.

Варинг формуласын дәлелдеу үшін математикалық индукция тәсілін келтіреміз. k=1 болғанда формула түрінде, ал k=2 болғанда түрінде болады. Осылайша, k=1 және k=2 кезінде Варинг формуласы тура шығады.

үшін Варинг формуласы дұрыс екендігі дәлелденді деп ұйғарайық.Оны үшін дәлелдеу үшін 15 беттегі (1) формуланы қолданамыз.

Екінші қосындыдағы n+1 m санына ауыстырамыз. Сонда екі қосындыны біріктіруге болады:

Алайда

және сондықтан да тік жақшаның ішіндегі өрнек мынаған тең:

болғандықтан, қажетті аракатынасты аламыз:

Варинг формуласы дәлелденді.