Симметриялық теңдеулер туралы ұғым

Симметриялық теңдеу

бүтін алгебралық теңдеуі. Егер

болған жағдайда симметриялық деп аталады.

1.Егер n = 2k болса, онда теңдеудің екі бөлігін бөлу арқылы пара-пар теңдеуге көшеміз.

Және теңдеу жаңа белгісізді енгізу арқылы k дәрежелі теңдеуге жалғасады

 

y = .

2. Егер n = 2k+1 болса, онда x = теңдеудің түбірі болады. x+1 бөлгенде теңдеуді n = 2k дәрежелі симметриялыұ теңдеуге әкеледі.

1-мысал. теңдеуін шешу керек.

Шешуі. Бұл төртінші дәрежелі симметриялыұ теңдеу бөлеміз.

 

2 - 3x – 16 - 2( (.

y = болса, онда

 

+2, ) – 3y – 16 = 0, 2 - 3y – 20 = 0

= -4, .

, + 4x + 1 = 0,,

,

 

Жауабы; -2

2-мысал. теңдеуін шешу керек.

бөлеміз сонда

2 - 3x – 19 -

2( (

Егер t = онда =

2 ) – 3t – 19 = 0, 2 - 3t – 27 = 0

= -3,

x-ке қайта оралып квадраттық теңдеулерге келеміз:

 

, 2 + 3x + 2 = 0, = -2 = -1;

2 - 9x + 4 = 0, = 4.

Жауабы: -2, -1, , 4.

Айнымалы және симметриялық теңдеулер дәрежелерінің төмендеуі

Бірнеше анықтаманы беріп, теореманы құрайиыз.

Анықтама.

0

Түріндегі теңдеу, егер теңдеу дәрежесі тақ болса, және жұп болған жағдайда

0,

Теңдеуі - айнымалы теңдеу деп аталады.

Мысалдар:

1- Теорема: Тақ дәрежелі айнымалы теңдеудің x = - λ түбірі бар.

2- Теорема: Тақ дәрежелі айнымалы теңдеудің сол және оң бөліктерін x + λ бөлу нәтижесінде жұп дәрежелі айнымалы теңдеу шығады.

2-теоремаға сәйкес тақ дәрежелі айнымалы теңдеудің жұп дәрежелі теңдеудің шешімене сәйкес келеді.

3- Теорема: 2n жұп дәрежелі y = айнымалы теңдеуі наұты сандар аумағында n дәрежелі жане n екінші дәрежелі теңдеулерге сай келеді.

Мысалы.

теңдеуін шешу керек.

Шешуі; Бұл теңдеу –тақ дәрежелі айнымалы, . 1- теоремаға сәйкес бұл теңдеудің түбірі бар . Теңдеудің екі бөлігін x бөлеміз. 8- 8- дәрежілі теңдеуді аламыз.

Бұл теңдеу – жұп дәрежелі айлымалы, , былайша жазуға болады;

Осы теңдеудің дәрежесін x көмегімен төмендетеміз. Теңдеудің сол бөлігін бөліп, теңдеу мүшелерін топтастырамыз;

2

Сонда y кезінде

Қондырғыны қоямыз. Белгісіз у үшін теңдеуін аламыз.

4- дәрежелі теңдеуді шешіп№

= 1, = 2, = 3, = аламыз

теңдеулерін шешу қажет.

: = , = 1, = 2,

Анықтама. n- дәрежелі теңдеу егер оның коэффициенттері және

Кезінде тең болса – симметриялық деп аталады. Осылайша симметриялық теңдеу келесі турде жазылады;

0

Симметриялық теңдеу айнымалы теңдеудің жеке түрі болып табылыды

(мұндағы λ=1).

Мысалы. ; және ;

Айнымалы теңдеулер туралы 1 және 2 теоремалардан келесі теоремалар туындайды.

4- теорема: Тақ дәрежелі симметриялық теңдеудің -1 түбірі бар.

5- теорема: Тақ дәрежелі симметриялық теңдеуді x+1 бөлу нәтижесінде жұп

дәрежелі cимметриялық теңдеудеу шығады.

6- теорема: 2n жұп дәрежелі симметриялық теңдеуді y = қондырғысымен

нақты сандар аймағында n дәрежелі және n екінші дәрежелі теңдеулерге сай келуі мүмкін.

Симметриялық теңдеулер де айнымалы теңдеулер амалдарымен шешіледі.

Мысалы. теңдеуін шешу керек.

Шешуi: Теңдеудің екі бөлігін бөліп;

- 2x – 7 – 4 теңдеуін аламыз.

Одан ( ( шығады

Сонда = 2 - 3a – 3 = 0 теңдеуін аламыз. = -3, екенін табамыз. Енді

квадраттық теңдеулерін шешу керек.

Жауабы: , ,

Мысалы: теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Бұл теңдеуді x = - 1 түбірі бар№ өйткені ол тақ дәрежелі симметриялық теңдеу. Теңдеудің екі бөлігін бөлеміз және бірінші мүшені соңғысымен, екіншісін соңғының алдыңдағысымен және т.с.с. біріктіреміз, одан шығатыны:

 

( (

 

қоямыз. Сонда = және болады. Белгісіз y үшін теңдеуі бар. Бұл теңдеудің тек жалғыз түбірі бар –y = 1.

 

теңдеуінің түбірі болмайтыны анық.

 

Жауабы: x = -1