Дифракция света на круглом отверстии

Пусть от точечного источника света в пространстве распространяется сферическая волна, на пути которой расположена диафрагма с круглым отверстием. Для определения результата дифракции на экране в точке наблюдения, расположенной на оси отверстия, разделим фронт волны на зоны Френеля. Зоны Френеля вырезаются сферами, радиусы которых последовательно возрастают на половину длины волны (рис.1). Без геометрического доказательства примем, что площадь зон примерно одинакова, а радиус внешней границы зоны равен

. 2.1

 

Здесь k – номер зоны, λ – длина волны.

		Рис. 2.2

Результат сложения волн от нескольких зон получим методом векторных диаграмм. Пусть вектор Е ₁– амплитуда колебаний волн от первой зоны, тогда вектор Е ₂ повернут на 180^о, так как волна от второй зоны приходит в противофазе. Длина вектора Е ₂ чуть поменьше из-за увеличения расстояния до зоны. Для наглядности чуть сместим векторы друг от друга. Как видно на диаграмме, если число открытых зон небольшое и четное, то результирующая амплитуда невелика. Если число зон нечетное, то амплитуда будет сравнительно большая и в точке наблюдения будет светло. Если число открытых зон очень велико (нет диафрагмы), то результирующая амплитуда будет в два раза меньше, чем от одной первой зоны.

Центральное пятно на экране наблюдения будет окружено несколькими темными и светлыми дифракционными кольцами, интенсивность которых невелика. Угол, под которым наблюдается первое дифракционное кольцо, определяется формулой , где d – диаметр отверстия диафрагмы.

Метод зон Френеля позволяет обосновать создание таких оптических устройств как зонная пластинка и линза Френеля. Если перекрыть непрозрачными кольцами, рассчитанными по формуле (2.1), четные или нечетные зоны, то на векторной диаграмме оставшиеся световые векторы сложатся в вектор огромной длины, и в точке наблюдения будет яркое пятно. Происходит фокусировка света. Если непрозрачные кольца сделать прозрачными с добавочной разностью оптических путей в половину длину волны, то все световые векторы на диаграмме будут направлены в одну сторону и результирующая амплитуда еще возрастет в два раза. Именно так изготавливаются так называемые линзы Френеля для маяков.

 

Дифракция света на щели

Пусть параллельный пучок света падает нормально на поверхность щели (рис. 2.1). Каждая точка поверхности щели становится источником вторичных волн, распространяющихся в пределах от –90^о до + 90^о. Разделим поверхность щели на зоны Френеля. Для этого проведем систему цилиндрических поверхностей, радиус которых от точки наблюдения возрастает на половину длины волны (рис. 3). Они разрезают поверхность щели на систему узких полосок, которые являются зонами Френеля. Число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, оказывается точно равно числу полуволн в оптической разности хода между лучами, идущими от краев щели . Из треугольника разность хода крайних лучей равна D L = b sin a. Здесь b – ширина щели, a – угол дифракции. Тогда условие минимума примет вид

 

b sin a = m l. 2.2

 

В центре дифракционной картины расположен центральный максимум. Для него щель является одной зоной Френеля. Он является изображением щели. Ширина изображения равна расстоянию между первыми минимумами: Н = 2 F tg a. Если тангенс малого угла a заменить синусом этого угла, то получим для ширины изображения щели формулу: . Изображение тем шире, чем уже щель.

Боковые максимумы, по сравнению с центральным максимумом, очень слабые. Для доказательства разделим щель на более узкие полоски, чем зоны Френеля. В центр экрана волны от этих полосок приходят в одной фазе, и векторная диаграмма сложения амплитуд ε от полосок имеет вид прямой линии, Е ₀ = ε n (рис. 2.2).

В стороне от центра экрана волны от полосок приходят с разностью фаз Dj и векторная диаграмма закручивается в спираль. Для ближайшего максимума первого порядка спираль должна сделать полтора оборота той же длины Е0. То есть ее диаметр следует определить из этого равенства . Интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды Е ₁, составит около 4 % от интенсивности центрального максимума.

 

Дифракционная решетка

Дифракционная картина от одной щели очень слаба. Для ее усиления применяют дифракционные решетки из большого числа щелей. Дифракционная решетка – это оптическое устройство, представляющее собой систему большого числа одинаковых, параллельных щелей, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Параметром решетки является период решетки – расстояние между соседними щелями и равное сумме ширины прозрачного и непрозрачного промежутков: d = а + b.

Пусть на дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок света (рис.2.3). Каждая щель становится источником вторичных волн, излучаемых в направлении от –90^о до + 90^о. Соберем с помощью линзы параллельные пучки света от каждой щели в фокальной плоскости линзы на экране. Они будут усиливать друг друга при интерференции, если оптическая разность хода от соседних щелей будет кратна целому числу длин волн, D L = к l. Из рис. 2.3 видно, что оптическая разность хода равна D L = d sin a. Тогда условие образования главных максимумов примет вид

 

d sin a = кl, 2.3

 

где к = 0, 1, 2, 3.. – целое число, являющееся порядком главного максимума.

Принципиальное различие от дифракции света на щели состоит в том, что главные максимумы дифракционных решеток оказываются очень узкими и разделены друг от друга большими темными промежутками. Объяснить это можно, применяя метод векторных диаграмм для сложения амплитуд вторичных волн от всех щелей. Амплитуда главного максимума равна Е = Е ₁ N, так как вторичные волны приходят в одинаковой фазе (рис. 2.3 а). Но стоит сместиться по экрану чуть в сторону от центрального максимума, как между вторичными волнами появляется небольшая разность фаз. Если она станет равна 2p /N, то векторная диаграмма превратится в окружность и результирующий првектор амплитуды обращается в нуль (рис. 2.3 б). Разности фаз 2p / N соответствует разность хода D L = l/N, и угол образования ближайшего минимума около главного максимума при огромном числе щелей будет мал d sin a _min = l/N.

Дифракционная решетка является спектральным прибором. Если решетка освещается белым светом, то главные максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр. Согласно формуле (2.3), чем меньше длина волны, тем ближе к центру расположена спектральная линия этого цвета. Поэтому спектр начинается с фиолетового и заканчивается красным цветом.

Спектральные приборы характеризуются разрешающей способностью, то есть способностью раздельно наблюдать две спектральных линии с небольшой разностью длин волн. Пусть решетка освещается двумя пучками монохроматическими света с длинами волн λ и λ +Δ λ. По критерию Рэлея две спектральных линии можно различить, если максимум, например, для линии λ +Δ λ: () совпадает ближайшим с минимумом для линии с длиной волны λ . Приравняв правые части, получим условие разрешения спектральных линий

. 2.4

 

Чем больше щелей N имеет решетка, тем выше ее разрешающая способность.