Дәріс сабақтың құрылымы:
1. Қос интегралдар. Еселі интегралдың анықтамасы
2. Еселі интегралдың қасиеттері
3. Қос интегралды екі еселі интеграл көмегімен есептеу.
4. Еселі интегралда айнымалыны ауыстыру
5. Еселі интегралда поляр координатаға көшіру.
Дәріс сабақтың мазмұны:
Ос интегралдар. Еселі интегралдың анықтамасы
Анықтама. D облысы 
жазықтығында 
осі бойынша дұрыс деп аталады, егер ол 
және 
, мұнда 
сызықтарымен және 
кесіндісінде үзіліссіз 
и 
, мұндағы 
функцияларының графиктерімен шенелгенболса. (сурет-1).
Мұндай облысыты 
арқылы белгілейміз және ол 
анықталған интегралымен табылады.
Сурет-1 сурет-2
Осыған ұқсас 
жазықтығындағы 
, мұндағы 
түзулерімен және 
кесіндісінде үзіліссіз 
және 
, мұнда 
функция графиктерімен шектелген облысты 
осі бойынша дұрыс деп аталады. (сурет-2).
Оның ауданы 
тең.
облысын 
элементар ауданшаларға бөлшектейміз. Сонда 
облысы 
облыстардың бірігуі түрінде қойылады. 
, мұнда 
болғанда 
және 
-дің ортақ ішкі нүктелері болмайды. Әрбір ауданшада еркін 
нүкте таңдаймыз.
Мұндай бөлшектеуді 
арқылы белгілейміз. Разбиение области облысын бөлшектеуді және координат өстеріне параллель түзулердің көмегімен жүзеге асырған оңай. (сурет-3).
 |
Сурет-3. сурет-4
Анықтама. облыстың диаметрі деп осы облыстағы екі нүктенің арасындағы ең үлкен қашықтықты айтамыз және былай белгілейміз: 
.
Айталық 
облысында 
үздіксіз функция анықталсын.
Анықтама. 
функция үшін интегралдық қосынды деп, облысында бойынша құралған 
санын айтады.
болғанда 
-ның геометриялық мағынасын анықтайық. Әрбір қосылғыш 
болғанда интегралдық қосынды табаны және биіктігі 
болатын цилиндрдің көлеміне тең. Сондықтан дегеніміз -осындай цилиндрден құралған сатылы дененің көлеміне сәйкес келеді. (сурет-4).
Сурет-5
Анықтама. облысында бөлшктеуі бойынша құралған функциясының интегралдық қосындысының 
ең үлкен диаметрі нөлге ұмтылғандағы шегі, облысы бойынша функцияның қос интегралы деп аталады. Ол 
арқылы белгіленеді. 
.
Еселі интегралдың қасиеттері
1. 
функцияның облысы бойынша еселі интегралы осы облыстың ауданына тең 
2. Егер 
және 
сандар, ал және 
функциялары да үзіліссіз болса, онда 
.
3. және функциялары облысында үзіліссіз және 
болса, онда 
.
4. Айталық 
функция облысында үзіліссіз және қайсыбір 
және 
сандары үшін 
орындалса, онда 
.
5. Теорема о среднем. Айталық функция облысында үзіліссіз болса, онда 
орындалатын осы облыста 
нүктесі табылады.
Ол мән 
облыста функцияның орта мәні деп аталады.
Еселі интегралдың модулін бағалау. Егер функция облысында үзіліссіз болса, онда.
7. Егер облысын екі облысқа 
, (мұндағы 
және 
-нің ішкі нүктелері жоқ) бөлшектесек, ал функция облысында үзіліссіз болса, онда
.
