ДӘріс 14-15. АныҚталҒан интеграл. Ньютон - Лейбниц формуласы. Есептеу Әдістері

 

Дәріс сабақтың құрылымы:

1. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. Анықталған интегралдың қолданылуы

2. Жоғары шегі айнымалы интегралдың туындысы

3. Ньютон-Лейбниц формуласы

4. Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру

5. Анықталған интегралда бөлшектеп интегралдау

6. Декарт координатындағы ауданды есептеу

7. Полярлық координатасымен берілген қисықпен шектелген фигураның ауданын есептеу

8. Дененің көлемін белгілі көлденең қимасы бойынша есептеу

9. Қисықтың доғасының ұзындығы және доғаның дифференциалы

10. Айналу денесінің бетінің ауданы

11. Меншіксіз интегралдар

Дәріс сабақтың мазмұны:

1. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. 1-Анықтама. [a,b] кесіндісінде f функциясы берілсін. [a,b] кесіндісін нүтелерімен бөліктерге бөлейік. Әрбір дербес аралығынан кезкелген нүктесін алайық. Және қосындысын құрайық. Бұл қосынды интегралдық қосыды деп аталады. деп белгілейік.

Егер дағы интегралдық қосынды тің шегі (егер ол бар болса) f функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады. және ол былай белгіленеді.

а сан анықталған интегралдың төменгі шегі, ал в саны жоғары шегі деп аталады.

Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.

1-қасиет. Тұрақты көбейткішті анықталған интегралдың таңбасының алдына шығаруға болады, яғни .

2-қасиет. Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталған интегралы сол қосылғыштардың анықталған интегралдарының қосындысына тең болады, яғни .

3-қасиет. [a,b] кесіндісінде, мұндағы a<b, берілген және функциялары шартын қанағаттандырса, онда болады.

4-қасиет. Егер m және M f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі ең кіші және ең үлкен мәндері болсын, мұндағы , онда болады.

5-қасиет. (Орта мән туралы теорема).

Егер f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үздіксіз болса, онда теңдігі орындалатындай [a,b] кесіндісінде бір нүктесі табылады.

6-қасиет. Кезкелген үш сан а, в, с үшін теңдігі орындалады.

Жоғары шегі айнымалы интегралдың туындысы.

[a,b] сегментінде үздіксіз y=f(x) функциясы берілсін. интегралын қарастырайық. Жоғары шегі айнымалы болатын интеграл кезкелген х-тің функциясы болады .

Теорема. Жоғары шегі айнымалы болатын интегралдың туындысы интегралдау айнымалысы жоғары шегімен алмастырылған интеграл астындағы функцияға тең болады .

Теорема. Кезкелген үздіксіз функция f(x) тің алғашқы функциясы болады, соның бірі интегралы болады.

Ньютон-Лейбниц формуласы.

Жоғары шегі айнымалы болатын интегралдың туындысы туралы теорема интегралдың қосынды мен шекке көшусіз ақ анықталған интегралды есептеудің жеңіл жолын көрсетуге көмектеседі. Сондықтан, егер F(x)-f(x) функциясының бір алғашқы функциясы болса, онда I(x)=F(x)+C немесе (*) болады.

болғандықтан, (*) теңдікте х=а қойсақ, болады. Бұдан C=-F(a) болады. Олай болса, болады. Егер х=в болса, (**) болады. Бұл (**) формула Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Ол анықталған интегралды есептеу үшін қолданылады. F(b)-F(a) айырмасын белгілейміз. . Осы белгілеуді пайдаланып, Ньютон-Лейбниц формуласын былай жазуға болады. .