ДӘріс 1-6. МатематикалыҚ анализге кіріспе. ФункцияныҢ шегі. ФункцияныҢ Үзіліссіздігі. Шектер туралы теоремалар. Тамаша шектер.

ПӘНДЕРДІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ

«Математика 2»

В011100 – «Информатика» мамандығы үшін

ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР

Семей

МАЗМҰНЫ

	Глоссарийлар.....................................................................................
	Дәріс оқулар.......................................................................................
	Практикалық сабақтар.......................................................................
	Студенттің өздік жұмысы.................................................................

ГЛОССАРИЙЛАР

Осы ОӘК тиісті анықтамалармен келесі терминдер қолданылған:

ГЛОССАРИЙ - 1

Рет нөмері	Жаңа ұғымдар	Мазмұны

1.	Нақты сандар	Оң және теріс рационал және иррационал сандар, және нөл сандар
2.	Рационал сандар	Бүтін сандар қатынасымен анықталатын ақырсыз немесе периодты ақырсыз бөлшектер
3.	Иррационал сандар	Ақырсыз, әрі периодсыз бөлшек сандар
4.	Жиындар	Қассиеттері бірдей болатын заттар жиынтығы
5.	Жиынның элементтері	Жиынды құрайтын сандар
6.	Бос жиын	Бірде – бір элементі жоқ жиын
7.	, жазылымы	жиынында жататын ; жиынында жатпайтын
8.	Логикалық символдар (кванторлар)	Кез келген, барлық; бар болады, табылады; байламынан байламы туады; және байламдары тең мағаналы (пара – пар)
9.	Айнымалы шамалар	Кез келген мән қабылдайтын шамалар
10.	Айнымалы шамалардың мәндер аймағы	Берілген айнымалы шамалардың қабылдайтын барлық мәндер жиыны
11.	Тізбек	Мәндерін натурал сандармен нөмірлеуге болатын айнымалы шамалар:
12.	Функция	Егер тің әрбір мәніне белгілі бір ереже (заңы) бойынша бір немесе бірнеше сәйкес мәндер анықталмаған болса, онда уайнымалыны шамасы тің функциясы болады және былайша жазылады
13.	Тәуелсіз айнымалы, аргумент	Егер функциясы берілген болса, онда тәуелсіз айнымалы немесе артумент деп аталады
14.	Функцияның анықталу облысы	Аргументтің мәндер жиыны
15.	Функцияның мәндер аймағы	Функцияның қабылдайтын мәндер жиыны
16.	функциясының графигі	Абсциссасы аргумент мәндерімен, ал ординатасы оларға сәйкес анықталған функция мәндерімен анықталған нүктелерінің жазықтықтағы жиыны
17.	Анымалы шаманың шегі	Егер саны үшін, қайсы бір кезден бастап -тің өзгеруі ара қатынасын қанағаттандыратын болса, онда саны айнымалы шамасының шегі деп аталады, яғни
18.	Тізбектің шегі	Егер үшін, нөмері табылып, болғанда теңсіздігі орындалатын болса, онда саны тізбегінің шегі деп аталады, яғни
19.	Шексіздіктегі функцияның шегі	Егер үшін, саны табылып, болғанда, орындалса, онда саны функцияның шексіздегі шегі деп аталады,яғни
20.	Функцияның үктедегі шегі	Егер үшін табылып, болғанда, орындалса, онда -саны функцияның нүктесіндегі шегі деп аталады, яғни
21.	Шексіз (мейілінше) аз шама – ш.а.ш.(м.а.ш.)	Егер болса, онда шексіз аз шама – ш.а.ш. (мейілінше аз шама – м.а.ш.) деп талады
22.	Шек пен мейілінші аз шама арасындағы байланыс	м.а.ш.
23.	Шексіз (мейілінше) үлкен шама – ш.ү.ш. (м.ү..ш.)	Егер кері шама м.а.ш. болса, онда айнымалы шамасы шексіз (мейілінше) үлкен шама - ш.ү.ш. (м.ү..ш.) деп аталады
24.	Тамаша шектер	бірінші тамаша шек; - екінші тамаша шек
25.	м.а.ш. – ларды салыстыру	Екі мейілінше аз шамаларды салыстыру үшін олардың қатынастарын шегін қарастырамыз. Егер
26.	Функцияның нүктесіндегі үзіліссіздігі	егер болса, онда функция нүктесінде үзіліссіз; , сәйкес аргумент пен функция өсімшелері болсын. Егер болса, бұл нүктесінде үзіліссіз
27.	Жанама түзу	Қисық бойындағы екі нүкте арқылы өтетін қиюшының нүктелердің беттесуі кезіндегі шегі
28.	функциясынүктесіндегі туындысы	функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының, -ған кездегі шегі
29.	Туындының геометриялық мағанасы	- функциясының графигіне нүктесіне жүргізілген жанаманың абсцисса өсімен жасайтын бұрышының тангесі
30.	Туындының механикалық интерпретациясы	уақыттан тәуелді қозғалыс заңы болса, онда уақыттағы лездік жылдамдық
31.	Функция дифференциалы	аргумент өсімшесіне пропорционал болатын функция өсімшесінің бас бөлігі ке қарағанда м.а.ш.)
32.	Тәуелсіз айнымалының дифференциалы	- тәуелсіз айнымалының ерікті өсімшесі
33.	Функция дифференциалының геометриялық мағанасы	функциясының графигінің нүктесіне жүргізілген жанама ординатасының өсімшесі
34.	Функцияның дифференциалдануы	Егер ақырлы туынды немесе функция дифференциалы бар, яғни болса, онда функция нүктесінде дифференциалданады

35.	Күрделі функция (функцияның функциясы) және оның туындысы	Айталық, , өз кезегінде болсын. Онда күрделі функция болады. Ал оның туындысы -
36.	Дифференциал түрінің инварианттығы	Күрделі функциясының дифференциал түрінде жазылады және мұндағы - (өзі функция ма, әлде жәй айнымалы ма) байланыссыз.
37.	Кері функция және оны дифференциалдау	Егер функциясын арқылы шешсек, - берілген функцияға кері функция аламыз. Ал орың туындысы -
38.	Функцияның параметр арңылы берілуі. Оның туындысы	Функция аргументі мен функцияның өзі үшінші (параметр) айнымалысы арқылы байланысты, яғни . Ал оның туындысы
39.	Монотонды функция	Егер аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен (кіші) мәні сәйкес келсе, функция өсетін (кемитін) болады
40.	Функцияның өсу немесе кему белгілері	Егер -болса – функция өседі, ал болса – функция кемиді
41.	Функцияның максимум, минимум және экстремум нүктесі	Егер үшін, болса, функция жергілікті максимумын (минимумын) қабылдайды. функциясының максимум (минимум) немесе екеуіне ортақ экстремум нүктесі
42.	Экстремумның қажетті шерты	Егер экстремум нүктесінде функция туындысы бар болса, онда ол туынды нөлге тең, яғни
43.	Экстремумның жеткілікті шарты	Егер функция туындысы нүктесінен өткен кезде -тен – -ке (– -тен -ке) өзгеретін болса, онда максимум (минимум) нүктесі болады
44.	Асимптота және оны анықтау жолдары	Егер нүкте бас нүктеден мейілінше алыстаған сайын түзу мен қисықтың арасы нөлге ұмтылатын болса, онда түзу берілген қисықтың асимптотасы болады. Егер горизонталь асимпттота болады
45.	Дөңес (ойыс) қисықтар	Егер жүргізілген жанама қисықтың үстіне (астында) жатса, онда қисық дөңес (ойыс) болады
46.	Дөңестік (ойыстық) белгілері	Егер: болады
47.	Иілу нүктесі	Қисық бойындағы дөңестік пен ойыстықты, немесе керісінше, ойыстық пен дөңестікті бөлетін нұкте иілу нүктесі болады.
48.	Иілу нүктенің бар болу белгілері	а) иілу нүктесінің бар болуының қажетті шарты; ә) нүктесінен өткенде таңбасын өзгертуі –жеткілікті шарт
49.	Лопиталь ережесі	болсын. Егер бар және ақырлы болса, онда бар және ақырлы болады
50.	Хорда және жанама жөніндегі теорема	Егер қисықтың әрбір нүктесіне жанама жүргізуге болатын болса, онда қисық бойынан бір нүкте табалып, хордаға параллель болатын жанама жүргізуге болады
51.	Лагранж теоремасы (формуласы)	Егер де үзіліссіз; ә) ()-да дифференциалданатын болса, онда ()-да жататын нүктесі табылып, теңдігі орындалады
52.	Ролль теоремасы	Егер -де үзіліссіз; ә) -да дифференциалданатын; б) болса, онда -да жататын ең болмағанда бір нүктесі табылып, теңдігі орындалады
53.	Коши теоремасы	Егер функциялары -де үзіліссіз; -да дифференциалданатын және болса, онда теңдігі орындалады.
54.	Тейлор формуласы	Берілген ретдифференциалданатын функцияны дәрежесі бойынша дәрежелі көпмүшелік пен құрамында -дің дірежесі бар қалдық мүше қосындысы мен алмастыруға болады
55.	Ішкі нүкте	Егер нүктесінің -маңайы табылып, толығымен жиынында жататын болса, онда жиынының ішкі нүктесі болады
56.	Шекаралық нүкте	Егер жиыны үшін, нүктесінің -маңайы табы-лып, оның кей нүктесі жиынында жатып, кейбіреуі жатпайтын болса, онда жиыны шекаралық нүктесі болады
57. 7	кеңістігі	өлшемді кеңістік деп, координаталары саннан құралған нүктелер жиынтығын айтады, яғни . Дербес жағдайда: сандар өсін; жазықтықты; кеңістікті береді
58.	кеңістігіндегі ара қашықтық, -маңіай	Екі нүктенің ара қашықтығы нүктесінің маңайы деп, болатын барлық нүктелер жиынын айтады. Дербес жағдайда: -радиусы ға тең шеңбер; радиусы ға тең шар.
59.	Ашық аймақ	Тек ішкі нүктелерден құралған жиынды айтады
60.	Тұйық аймақ	Ашық аймақ пен шекаралық нүктелерден құрылған жиынды айтады.
61.	Нүктелер функциясы	Егер жиынында жататын әрбір нүкте үшін, кейбір ереже бойынша табылған айнымалы шамасы нүктелер функциясы болады.
62.	Бір айнымалы функция	Егер -сандар өсіндегі нүктелер жиыны болса, онда -бір айнымалы функция болады.

ГЛОССАРИЙ -2

№	Жаңа ұғымдар	Мазмұны

1.	Алғашқы функция	Егер аралығындағы дифференциалданатын және , теңдігі орындалатын болса, онда ол берілген аралықтағы функциясының алғашқыфункциясы деп аталады
2.	Анықталмаған интеграл	Егер функциясы функциясының белгілі бір аралықтағы алғашқы функциясы болса, онда функциялар жиынтығы берілген функциясының анықталғанинтегралы деп аталады да символымен белгіленеді, мұндағы С-ерікті тұрақты
3.	Анықталмаған интегралдағы айнымалыларды ауыстыру	Айталық мұндағы бірсарынды және дифференциалданатын функция. Онда
4.	Бөліктеп интегралдау формуласы
5.	интегралының рекурентті формуласы
6.	Мына төмендегі интегралдарды есептеу	Үшмүшеліктің толық квадратын бөліп алып, ауыстыруын қолданамыз.
	Рационал функцияларды интегралдау мұндағы көпмүшеліктер	1) егер бөлшегі бұрыс болса, онда көпмүшелігін көпмүшесіне бөлеміз, сонда бөлінді бүтін бөлікке және дұрыс бөлшекке жіктеледі; 2) көпмүшені көбейткіштерге жіктейміз; 3) дұрыс бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысына келтіреміз; 4) белгісіз коэффициенттерді жеке мәндер және анықталмаған коэффициенттер әдісітерімен табамыз. 5) қарапайым бөлшектердің интегралын есептейміз.
	Мына түрдегі интеграл мұндағы -рационал функция; бүтін оң сандар.	алмастыруын жүргіземіз, мүндағы - саны бөлшектерінің ортақ бөлімі
	Төмендегі интегралдарға 1) 2) 3)	Келесі алмастырулар жүргізіледі: 1) 2) 3)
	Мына түрдегі интегралдарға	Төмендегі формулаларды қолдану керек
	Келесі интегралдарға мұндағы m,n-бүтін сандар	1) Егер - оң тақ сан болса, онда алмастыруын жүргіземіз. 2) Егер - оң тақ сан болса, онда алмастыруын жүргіземіз. 3) Егер - жұп оң сандар болса, онда мына формулалар қолданылады: 4) Егер жұп теріс сан болса, онда алмастыруын жүргіземіз.
	Мына түрдегі интегралдарға мұндағы - функциясы арқылы рационал функция.	универсал ауыстыруын жүргіземіз. Сонда болады. Дербес жағдайлар: 1) Айталық онда ауыстыруын жүргіземіз. 2) Айталық , онда ауыстыруын жүргіземіз. 3) Айталық онда ауыстыруын жүргіземіз.
	Анықталған интегралдың анықтамасы	Егер нөлге ұмтылғанда интегралдық қосынды аралығын бөлу тәсіліне және нүктелерін қалай сайлап алуға тәуелді емес бір тиянақты шекке ұмтылса, онда осы шекті функциясының аралығында алынған анықталған интегралы деп атайды және былай белгіленеді:
	Ньютон-Лейбниц формуласы	, мұндағы функциясы функциясының алғашқы функциясы
	Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау формуласы	Айталық, және олардың туындылары -аралығында үзіліссіз болса, онда төмендегі формула орындалады.
	Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру	Егер функциясы аралығында үзіліссіз, ал өз кезегінде функциясы кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын функция және болсын. Онда
	Бірінші текті меншіксіз интегралдар (өзіндік емес интегралдар). Шектері ақырсыз интегралдар
	Екінші текті меншіксіз интегралдар (өзіндік емес интегралдар). Шектелмеген функциялар интегралы	Егер функциясы болғанда үзіліссіз және онда анықтама бойынша орындалады.
	Жоғарғы жағынан , үзіліссіз қисықпен, төменгі жағынан өсімен , бүйір жақтарынан түзулермен қоршалған қисық сызықты трапецияның ауданы
	қисықтарымен шектелген фигураның ауданы
	Фигура параметрлік теңдеулермен барілген қисықтарымен шектелген. Осы фигураның ауданы
	сәулелерімен және қисығымен шектелген фигураның ауданы
	теңдеуімен берілген доғаның ұзындығы
	параметрлік теңдеулерімен берілген кеңістіктегі қисықтың доғасының ұзындығы
	параметрлік теңдеулерімен берілген кеңістіктегі қисықтың доғасының ұзындығы
	Қисықтың теңдеуі поляр координаттарында берілсе, онда қисықтың доғасының ұзындығы
	аралығында орналасқан теңдеуімен берілген қисық доғасының өсі арқылы айналғанда пайда болған айналу бетінің ауданы
	параметрлік теңдеулермен берілген қисық доғасының өсі арқылы айналғанда пайда болған айналу бетінің ауданы
	поляр координаттарында берілген қисық доғасының өсі арқылы айналғанда пайда болған айналу бетінің ауданы
	Денің көлемі	мұндағы өсіне перпендикуляр денеге жүргізілген қиманың аудуны
	функциясы графигі арқылы алынған қисықсызықты трапецияны өсімен айналдырғанда пайда болған айналу бетінің көлемі
	фигурасы графигі арқылы алынған қисықсызықты трапецияны өсімен айналдырғанда пайда болған дененің көлемі