Математичні основи спектрального аналізу

Розділ 4

СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ У ТЕХНІЧНОМУ ЗАХИСТІ ІНФОРМАЦІЇ

Математичні основи спектрального аналізу

Перетворення Фур’є використовується у багатьох областях науки – у фізиці, теорії чисел, комбінаторіці, обробки сигналів, теорії ймовірностей, статистиці, криптографії, акустиці, океанології, оптиці, геометрії та багатьох інших.

Перетворення Фур’є – це операція, яка описує коефіцієнти (так звані «амплітуди») при розкладенні початкової функції на елементарні складові – гармонічні коливання з різними частотами.

Перетворення Фур’є функції f дійсної змінної являється інтегральним та задається наступною формулою:

. (4.1)

Зауважимо, що у різних підручниках можуть наводити різні визначення, які відрізняються вибором коефіцієнту перед інтегралом, а також знаком «–» у показнику експоненти. Від цього властивості перетворення не змінюються, хоча деякі формули матимуть інший вигляд.

Справедливою є рівність Парсеваля: при певних широких умовах перетворення Фур’є зберігає так звану L ₂ норму:

(4.2)

З фізичного смислу це означає, що енергія зберігається. L ₂ норму можна трактувати як закон зберігання енергії.

 

Формула обернення:

(4.3)

є справедливою, якщо інтеграл у правій частині має смисл.

Ця формула пояснює фізичний смисл перетворення Фур’є: права частина – це нескінченна сума комплексних гармонічних коливань з частотами ω, амплітудами та фазовими зсувами , відповідно. Функція що описує коливання являється комплексною функцією.

Формули перетворення Фур’є у термінах часу та частоти. У області обробки сигналів перетворення Фур’є бере представлення функції сигналу у вигляді часових рядів (якщо замінити x на t) і відображає його у частотний спектр, де ω, – кутова частота.

. (4.4)

Тобто воно перетворює функцію часу у функцію частоти. А обернена формула є розкладанням часової функції на гармонічні складові з різними частотами. Іншими словами, перетворення Фур’є це декомпозиція сигналу на частоти та амплітуди, тобто є оборотним переходом від часового простору до частотного простору.

Коли функція f являється функцією часу та представляє фізичний сигнал, перетворення має стандартну інтерпретацію як спектр сигналу. Абсолютна величина, яка утворюється в результаті перетворення комплексної функції F представляє амплітуди відповідних частот (ω), а фазові зсуви отримують як аргумент цієї комплексної функції.

У табл. 4.1 містяться перелік важливих для нас формул для перетворення Фур’є. F (ω) та G (ω) позначають Фур’є-компоненти функцій f (t) та g (t), відповідно. f та g повинні бути інтегрованими функціями.

 

Таблиця 4.1 – Формули для перетворення Фур’є

№ з/п	Функція	Образ (зображення)	Примітка
			Властивість лінійності
			Затримка (запізнювання)
			Частотний зсув
			Властивість перетворення Фур’є від n -ої похідної
			Властивість оберненого перетворення Фур’є від n -ої похідної спектру (зображення)
			означає дельта-функцію Дірака
			Обернена функція Дірака
			Наслідок властивостей 3 і 7
			Наслідок властивостей 1 і 7 з використанням формули Ейлера
			Те саме із 1 та 7
			Показує, що функція Гауса співпадає зі своїм зображенням
			Запис означає згортку f і g. Це теорема про згортку (див. розд. 4.3)
			Обернена функція теореми про згортку

 

Віконне перетворення. Класичне перетворення Фур’є має справу із спектром сигналу, взятим у всьому діапазоні існування змінної. Коли інтерес представляє тільки локальний розподіл частот, який концентрується у певному проміжку, то застосовують так зване віконне перетворення Фур’є. Спершу обирають деяку віконну функцію W. Тоді віконне перетворення виглядає як:

,. (4.5)

де F (t, ω) дає дещо спотворений розподіл частот частини оригінального сигналу f (t) в околиці часу t.

Спектральний аналіз реалізовано в сучасних цифрових осцилографах і аналізаторах спектру. Використовується, як правило, вибір вікна з декількох (від 3 до 10) типів вікон. Застосування вікон принципово необхідне, оскільки в реальних приладах досліджується завжди деякий часовий відрізок з досліджуваного сигналу. При цьому розриви сигналу унаслідок вирізки різко спотворюють спектр через накладення спектрів стрибків на спектр сигналу. Знаходження оптимального виду вікна для віконного перетворення продовжує залишатись науковою проблемою.

Деякі аналізатори спектру використовують швидке (або короткочасне) віконне перетворення. При ньому сигнал заданої тривалості розбивається на ряд інтервалів за допомогою ковзаючого вікна того або іншого типу. Це дозволяє отримувати, досліджувати і будувати у вигляді спектрограм динамічні спектри й аналізувати їх поведінку в часі. Спектрограма будується в трьох координатах - частота, час і амплітуда. Подібні аналізатори спектру називають аналізаторами спектру реального часу. Основним їх виробником є корпорація Tektronix (США). Частотний діапазон досліджуваних ними сигналів досягає сотень гігагерц. Розроблено та експлуатуються вітчизняні аналоги.

Певний різновид віконного перетворення Фур’є з використовується для зменшення пікових значень побічних електромагнітних випромінювань у рідинно-кристалічних моніторах. Завдяки квазівипадковій віконній функції спектр випромінювання «розмивається» і його амплітуда зменшується (див. лабораторну роботу № 123).

Як видно з формул (4.2) та (4.3) комплексна коливальна функція інтегрується по всьому інтервалу від від’ємних до додатних частот. Інакше не буде виконуватись рівність Парсеваля. Фізичний смисл від’ємних частот стане ясним при розгляді розповсюдження хвиль.

 

Ряди Фур’є. Неперервні перетворення є узагальненням рядів Фур’є, які були винайдені раніше. Ряди Фур’є розроблені для періодичних функцій і представляють собою розкладення таких функцій у нескінченну лінійну комбінацію гармонічних коливань з цілими частотами:

. (4.6)

Розкладання у ряд Фур’є може бути застосовано також до функцій, заданих на обмежених проміжках, оскільки такі функції можуть бути періодично продовжені на всю пряму. Квантові ефекти, що виникають на практиці із-за обмеження на кількість членів ряду. Аналог невизначеності Гейзенберга.

Рядом Фур’є називають представлення довільної функції f з довільним періодом τ у вигляді ряду

, (4.7)

де A_k – амплітуда k -го гармонічного коливання; – кругова частота гармонічного коливання; θ_k – початкова фаза k -го гармонічного коливання.

Часто при роботі з рядами Фур’є буває зручно у якості базису використовувати замість синусів та косинусів експоненти уявного аргументу. Системи функцій

, (4.8)

які являються попарно ортогональними та утворюють повну систему, і, таким чином, будь-яка функція може бути розкладена за ними у ряд Фур’є:

. (4.9)

де f_k – k -а комплексна амплітуда.

Формула (4.8) дозволяє пояснити фізичний смисл розкладання сигналу на «квадратурні» складові, яке застосовується у спектральних аналізаторах.

Перетворення Фур’є, по праву, є одним з найбільш значним винаходом в історії людства. Без нього не було б ні квантової механіки, ні теорії струн та багато іншого.

 

Тригонометричний ряд Фур’є. Тригонометричний ряд Фур’є містить дійсні функції та має такий вигляд:

, (4.10)

де ,

,

.

Числа a ₀, a_n, b_n (n = 1, 2…) називають коефіцієнтами Фур’є функції.

Розглянемо приклад. Знайти розкладання в ряд Фур’є прямокутної функції з періодом 2π, визначеної в інтервалі [–π, π] (рис. 3.1):

 

(4.11)

 

 

Рисунок 4.1 – Прямокутна функція

Розкладання у ряд Фур’є для прямокутної функції має вигляд

, (4.12)

Можна обчислити декілька перших членів розкладання. Наприклад, вважаючи, що n = 5, отримуємо

. (4.13)

У даному випадку ряд Фур’є складають непарні гармоніки розкладання.

Швидкість сходження погрішності цифрового аналізу залежить від кількості членів розкладення ряду Фур’є.

 

Ряд Котельникова.

Проблемою повної реконструкції початкового сигналу за дискретними відліками займались багато вчених. Вперше її сформулював у 1897 році Борель. У 1928 році Найквіст вирішив задачу щодо потрібної смуги лінії зв’язку для передавання імпульсного сигналу. Частота слідування імпульсів має бути меншою подвоєної смуги.

У 1949 році Клод Шеннон довів теорему: «Будь-яку функцію f (t), яка складається із частот від 0 до f_c, можна безперервно передавати з будь-якою точністю за допомогою чисел, що слідують одне за одним через 1/(2 f_c) секунд.

Але, міжнародне товариство визнало пріоритет В.А. Котельникова, який у 1933 році запропонував та довів теорему відліків, що має важливе значення у теорії зв’язку: неперервний сигнал s (t) з обмеженим спектром можна точно відновити (тобто інтерполювати) за його відліками s (kΔt), взятими через інтервали , де F – верхня частота спектра сигналу. У відповідності до цієї теореми сигнал s (t) можна представити рядом Котельникова.

. (4.14)

Таким чином, сигнал s (t) можна абсолютно точно представити за допомогою послідовності відліків , заданих у дискретних точках (рис. 4.2).

 

	Рисунок 4.2 – Сигнал та його відліки

Рисунок взято з Вікіпедії. Функції

(4.15)

називаються функціями відліків (рис. 4.3). Вони утворюють ортогональний базис у просторі сигналів, що характеризуються обмеженим спектром.

 

	Рисунок 4.3 – Функція відліків

 

 

Функція відліків характеризується наступними властивостями:

- якщо k = 0, функція відліків має максимальне значення при t = 0, а в моменти , (i = 1, 2, …) вона обертається в нуль;

- ширина головного пелюстка функції відліків на нульовому рівні дорівнює тому мінімальна тривалість імпульсу, який може існувати на виході лінійної системи із смугою пропускання F, дорівнює ;

- функції відліків ортогональні на нескінченному інтервалі часу.

Для перетворення потоку імпульсних відліків у неперервну функцію їх пропускають через ідеальний фільтр нижніх частот з граничною частотою F.

Енергія сигналу знаходять за формулою

(4.16)

Для сигналу, обмеженого у часі формула (4.16) перетворюється до виду

(4.17)

Формула (4.17) є приблизною, бо сигнали не можуть бути одночасно обмежені за частотою й за часом. У макросвіті місце принцип невизначеності аналогічний принципу невизначеності Гейзенберга у квантовій механіці.

У теоремі Котельникова розглядається ідеальний випадок, коли сигнал почався нескінченно давно і ніколи не закінчиться, а також не має у своїй часовій характеристиці точок розриву. Реальні сигнали не мають таких характеристик. Вони конечні за часом і за звичай мають розриви у часовій характеристиці. Відповідно, їх спектр нескінченний. Тоді повне відновлення сигналу не можливе. Із теореми Котельникова витікають два висновки:

- будь-який аналоговий сигнал може бути відновлений з якою завгодно точністю за своїми дискретними відліками, взятими з частотою f > 2 f_c, де f_c – максимальна частота, якою обмежено спектр реального сигналу;

- якщо максимальна частота у сигналі перевищує половину частоти дискретизації, то не існує способу відновлення сигналу із дискретного в аналоговий без спотворень.

Теорему відліків можна сформулювати і для частотної області, що буде дуальною теоремою до теореми відліків у часовій області.

Така теорема стверджує: якщо аналоговий сигнал s (t) має обмежену тривалість, то його спектр може бути однозначно відновлено за своїми вибірками, що взяті з інтервалом:

, (4.18)

де Δ f – інтервал частотних вибірок сигналу; T ₀ – період сигналу.

Загальний висновок. Для правильної цифрової обробки сигналів частота дискретизації повинна бути досить високою і сигнали мають бути ретельно відфільтровані перед їх оцифровуванням.