Система линейных однородных уравнений.

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A < n. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.

13. Бесконечно малые функции. Определения и основные теоремы. Функция у = f(х) называется бесконечно малой при х→x0, если lim(f(x)) = 0 при х→x0. Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, ß и т. д. Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Теорема 17.2 Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая. Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая. Теорема 17.4. Если функция α(х) — бесконечно малая (α ≠ 0), то функция 1/α(х) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ƒ(х)— бесконечно большая, то 1/ƒ(х) — бесконечно малая. Справедливо обратное утверждение

 

15.Первый замечательный предел. При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. [!]

 

17.Второй замечательный предел

 

 

19. Точки разрыва и их классиф. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х₀ — точка разрыва функции у = ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀. 2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х₀. 3. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, существует но этот предел не равен значению функции в точке x₀.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у = ƒ(х), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы). При этом:

а.) если А₁ = А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

б.) если А₁ ≠ А₂, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину |A₁-А₂| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у = ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

23. Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл.

Пусть функция у = ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную:

lim(∆y/∆x) = f’(x) ≠ 0 при ∆x→0. Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать ∆y/∆х = ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у = ƒ'(х)*∆х+α*∆х. Дифференциалом функции у = ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): [∆y = ƒ'(х)*∆х] [24.1]. Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведем к графику функции у = ƒ(х) в точке М(х; у) касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ = ∆х, |AM₁| = ∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем: tg(α) =|AB|/∆x, т.е. |AB|=tg(α)*∆x. Но, согласно геометрическому смыслу производной, tg(α) = ƒ'(х). Поэтому АВ = ƒ'(х)*∆х. Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy = АВ, т. е. дифференциал функции у = ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

21. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Для любого хє[а;b] имеет место неравенство m≤ƒ(х)≤М. Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения ƒ(a) = А и ƒ(b) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В. Следствие 19.2. Если функция у = ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция ƒ(х) обращается в нуль: ƒ(с) = 0.25. В неопределенностях 0/0 и бескон/бескон предел отношения функций равен пределу отношения их производных

27. Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

29. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. График дифференцируемой функции у = ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у = ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. Точка графика непрерывной функции у = ƒ(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

 

31. Общая схема исследования функции и построение ее графика Исследование функции и построение ее графика удобно проводить по следующей схеме

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции

и вертикальные асимптоты.

3. Исследовать поведение функции на бесконечности, найти наклонные горизонтальные асимптоты правую и левую. 4. Найти интервалы монотонности и точки экстремума.

5. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

6. Найти точки пересечения графика функции с осями Ох и Оу.

7. Построить график функции