Дополнительные соотношения между элементами призмы

Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами основания, которые выходят из вершины , то основание О высоты лежит на биссектрисе угла (рис. 7).

Доказательство:

Проведем и отрезки Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем и . Прямоугольные треугольники и равны, поскольку имеют общую гипотенузу и одинаковые углы ( по условию). Следовательно, и , отсюда Таким образом, точка О равноудалена от сторон угла и, следовательно, лежит на биссектрисе угла . [3, 24]

Задачи

1. Ребро куба равно а.

Найдите:

Диагональ грани: d= a√2.

Диагональ куба: D= a√3.

Периметр основания: P= 4a.

 

2. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см. Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.

Быстрый поиск по Банку Рефератов: | Описание работы | Похожие работы

Решение

Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть , где - площадь основания призмы, - площадь боковой поверхности, содержащей основание, - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы)

Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).

Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь:

Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой , с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора:

Таким образом:

,

3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы.

Решение

Правильный четырехугольник – это квадрат.

Соответственно, сторона основания будет равна

Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:

Ответ: 22 см

4. Рассмотрим правильную четырехугольную призму , диагональное сечение которой – квадрат. Через вершину и середины ребер АВ и ВС проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения, если

Решение

Быстрый поиск по Банку Рефератов: | Описание работы | Похожие работы

Построение сечения видно на рисунке, где К и L – середины сторон АВ и ВС основания призмы, Е и F – точки пересечения прямой КL соответственно с продолжениями сторон DA и DC. Сечением является пятиугольник площадь которого можно найти. Можносначала вычислить площади треугольников и а потом от площади первого треугольника вычесть удвоенную площадь второго (поскольку треугольники и равны). Однако в данном случае проще воспользоваться формулой:

Проекция пятиугольника на плоскость основания призмы есть пятиугольник , площадь которого найдем, вычитая из площади квадрата площадь треугольника ВКL:

Пусть диагональ ВD основания пересекает отрезок КL в точке О. Так как и (согласно теореме о трех перпендикулярах), то – линейный угол двугранного угла КL.

Далее находим:

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем:

Значит, и

5. Дана правильная призма: , . Найти высоту призмы.

Решение

Площадь основания

АВ= 2 см.

Периметр основания Р = 8 см.

Высота призмы

6. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a. Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Решение

Быстрый поиск по Банку Рефератов: | Описание работы | Похожие работы

Пусть – данный параллелепипед с основаниями , и боковыми рёбрами , причём ABCD – квадрат со стороной a, вершина равноудалена от вершин A, B, C и D, а расстояние от вершины до плоскости основания ABCD равно b. Поскольку точка равноудалена от вершин квадрата ABCD, она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD, проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC, проходит через её середину M. По теореме о трёх перпендикулярах , поэтому – высота грани . Из прямоугольного треугольника находим, что

.

Значит,

Аналогично,

Если S – полная поверхность параллелепипеда , то

.

7. Докажите, что если сечение параллелепипеда плоскостью является многоугольником с числом сторон, большим трёх, то у этого многоугольника есть параллельные стороны.

Доказательство

У параллелепипеда 3 пары параллельных граней. Если плоскость пересекает более трёх граней, то по крайней мере две стороны многоугольника сечения лежат в противоположных гранях параллелепипеда. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей эти две стороны параллельны.

8. В параллелепипеде грань ABCD – квадрат со стороной 5, ребро также равно 5, и это ребро образует с рёбрами AB и AD углы . Найдите диагональ .

Решение

Треугольник – равносторонний, т.к. = AB и . Поэтому . Аналогично, . Боковые рёбра треугольной пирамиды с вершиной равны между собой, значит, высота этой пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания ABD, а т.к. треугольник ABD прямоугольный, то точка O – середина его гипотенузы BD, т.е. центр квадрата ABCD. Из прямоугольного треугольника находим, что

Поскольку , точка равноудалена от вершин C и D, поэтому её ортогональная проекция K на плоскость основания ABCD также равноудалена от C и D, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD. Поскольку || и = , четырёхугольник – прямоугольник, поэтому OK= =5. Продолжим отрезок KO до пересечения с отрезком AB в точке M. Тогда M – середина AB и MK=MO+OK= . Из прямоугольных треугольников MKB и находим, что:

9. На ребре AD и диагонали параллелепипеда взяты соответственно точки M и N, причём прямая MN параллельна плоскости и AM:AD = 1:5. Найдите отношение .

Решение

Пусть P – центр параллелограмма ABCD. Плоскости и пересекаются по прямой , поэтому прямые и пересекаются в некоторой точке Q, причём

Быстрый поиск по Банку Рефератов: | Описание работы | Похожие работы

По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскости α и пересекаются по прямой, проходящей через точку E параллельно . Ясно, что точка пересечения этой прямой с прямой и есть точка N (прямая MN лежит в плоскости, параллельной плоскости ). Рассмотрим параллелограмм . Так как

то

10. Три отрезка, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и делятся этой точкой пополам. Докажите, что концы этих отрезков служат вершинами параллелепипеда.

Решение

Пусть O – общая середина отрезков , и . Тогда AB|| и AD|| . Значит, плоскости ABD и параллельны. Аналогично, плоскость параллельна плоскости . В плоскостях ABD и возьмём соответственно точки C и так, что ABCD и – параллелограммы. Так как CD||AB, AB|| и || , то CD|| . Поэтому плоскости и также параллельны. Шестигранник , образован пересечением трёх пар параллельных плоскостей. Следовательно, это параллелепипед

Наклонная призма

Объем наклонной призмы

V=S_псa,

где S_пс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы

S_б=P_псa,

где P_пс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

Площадь полной поверхности наклонной призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, S_осн - площадь её основания.

Прямая призма

Объем прямой призмы

V=S_оснa,

где S_осн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.

Площадь боковой поверхности прямой призмы

S_б=P_оснa,

где P_осн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.

Площадь полной поверхности прямой призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности прямой призмы, S_осн - площадь основания.

Прямоугольный параллелепипед

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abc,

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда

S_б=2c(a+b),

где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

S_п=2(ab+bc+ac),

где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

 

Куб

V=a³, S_б=4a², S_п=6a²,

где a - ребро куба.

Пирамида

Объем пирамиды

 

где S_осн - площадь основания, H - высота.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.
Площадь полной поверхности пирамиды

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, S_осн - площадь основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

 

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

Усеченная пирамида

Объем усеченной пирамиды

 

где S₁ , S₂ - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

S_п=S_б+S₁+S₂,

где S_б - площадь боковой поверхности пирамиды, S₁ , S₂ - площади оснований.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

 

где P₁ , P₂ - периметры оснований, а l - ее апофема.

Цилиндр

Объем цилиндра

V=p R ²H,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
Площадь боковой поверхности цилиндра

S_б=2p R H,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.
Площадь полной поверхности цилиндра

S_п=2p R H + 2p R²,

где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

Конус

Объем конуса

 

где R - радиус основания конуса, а H - его высота.
Площадь боковой поверхности конуса.

S_б=2p R L,

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.
Площадь полной поверхности конуса

S_п=2p R (R+L),

где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

Усеченный конус

Объем усеченного конуса

 

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса

S_б=p L (R+r),

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.
Площадь полной поверхности усеченного конуса

S_п=p L (R+r)+p R²+p r²,

где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

Сфера и шар

Объем шара

 

где R - радиус шара
Площадь сферы (площадь поверхности шара)

S=4p R²,

где R - радиус сферы
Объем шарового сегмента

 

где H - высота шарового сегмента, R - радиус шара
Объем шарового сектора

 

где H - высота соответствующего шарового сектора, R - радиус шара