Скалярное произведение векторов
· Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
· Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
· 
· Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:
· 
· Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов 
и 
:
· 
· Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Линейное пространство Определение 1. Говорят, что на множестве R определена операция сложения элементов, если каждой упорядоченной паре элементов х, у R ставится в
соответствие вполне определенный элемент z R. Указанный элемент z называется суммой элементов х и у и обозначается х + у. Определение 2. Говорят, что на множестве R определена операция умножения элемента на число, если каждому элементу х R и каждому числу ставится в соответствие вполне определенный элементz R. Указанный элемент z называется произведением элемента х на число и обозначается х. Определение 3. Множество R называется линейным пространством, если на нем определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, причем для любых х, у, z R и любых чисел, β имеют место следующие аксиомы: 1. x + y = y + x; 2. (x + y) + z = x + (y + z); 3. R: x R x + = x; 4. x R – x R:x + (–x) =; 5. (x + y) = x + y; 6. (+ β)x = x+βx; 7. (βx) = (β)x; 8. 1·x = x. Элементы линейного пространства называются векторами. Вектор, упомянутый в аксиоме 3, называется нулевым вектором или нулем. Вектор – х, упомянутый в аксиоме 4, называется противоположным вектору х. Следствия из аксиом линейного пространства 1. Линейное пространство имеет только один нуль. 2. Для каждого вектора существует только один противоположный. 3. x R 0·х =. 4. x R (–1)·х = –х. 5. Для любого числа · =. 6. Если x =, то либо = 0, либоx =. Следствие 2 дает нам возможность ввести Определение 4. Сумма векторов у и –х называется разностью векторов у и х и обозначается у – х. Следует отметить, что операция вычитания векторов выражается через операции сложения векторов и умножения вектора на число у – х = у + (–1)х
Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.
Доказательство:
1. Так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α.
2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой bточку A.
3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b.
